21 lines
913 B
Markdown
21 lines
913 B
Markdown
up:: [[tribu image réciproque]]
|
|
#maths/algèbre
|
|
Soit $f: E \to F$
|
|
Soit $\mathcal{B}$ une [[tribu]] sur $F$
|
|
$f^{-1}(\mathcal{B}) = \{ f^{-1}(B) \mid B \in \mathcal{B} \}$
|
|
|
|
Pourquoi $f^{-1}(\mathcal{B})$ est une tribu ?
|
|
|
|
1. ensemble vide
|
|
$\emptyset _{E} = f^{-1}(\emptyset _{F}) \in f^{-1}(\mathcal{B})$
|
|
donc $\boxed{\emptyset \in f^{-1}(\mathcal{B})}$
|
|
2. stable par complément
|
|
Soit $A \in f^{-1}(\mathcal{B})$
|
|
Il existe $B \in \mathcal{B}$ tel que $A = f^{-1}(B)$
|
|
alors $A^{C} = f^{-1}(B)^{C} = f^{-1}(B^{C}) \in f^{-1}(\mathcal{B})$
|
|
Donc, on a bien $\boxed{\forall A \in f^{-1}(\mathcal{B}), \quad A^{C} \in f^{-1}(\mathcal{B})}$
|
|
3. stable par intersection
|
|
Soit $(A_{i})_{i \in I}$ une suite d'éléments de $f^{-1}(\mathcal{B})$
|
|
Il existe $(B_{i})_{i \in I}$ une suite d'éléments de $\mathcal{B}$ tels que $\forall i \in I, \quad A_{i} = f^{-1}(B_{i})$
|
|
Alors, $\displaystyle \bigcap _{i \in I}(A _{i}) =$
|