cours/démonstration l'image réciproque d'une tribu est une tribu.md

up:: tribu image réciproque #maths/algèbre Soit f: E \to F Soit \mathcal{B} une tribu sur F f^{-1}(\mathcal{B}) = \{ f^{-1}(B) \mid B \in \mathcal{B} \}

Pourquoi f^{-1}(\mathcal{B}) est une tribu ?

1. ensemble vide \emptyset _{E} = f^{-1}(\emptyset _{F}) \in f^{-1}(\mathcal{B}) donc \boxed{\emptyset \in f^{-1}(\mathcal{B})}
2. stable par complément Soit A \in f^{-1}(\mathcal{B}) Il existe B \in \mathcal{B} tel que A = f^{-1}(B) alors A^{C} = f^{-1}(B)^{C} = f^{-1}(B^{C}) \in f^{-1}(\mathcal{B}) Donc, on a bien \boxed{\forall A \in f^{-1}(\mathcal{B}), \quad A^{C} \in f^{-1}(\mathcal{B})}
3. stable par intersection Soit (A_{i})_{i \in I} une suite d'éléments de f^{-1}(\mathcal{B}) Il existe (B_{i})_{i \in I} une suite d'éléments de \mathcal{B} tels que \forall i \in I, \quad A_{i} = f^{-1}(B_{i}) Alors, \displaystyle \bigcap _{i \in I}(A _{i}) =