26 lines
1.5 KiB
Markdown
26 lines
1.5 KiB
Markdown
up:: [[normes équivalentes]], [[norme p]]
|
|
#maths/algèbre
|
|
|
|
On veut démontrer que $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{\infty}$ ne sont pas équivalente sur $\mathcal{C}([0; 1], \mathbb{R})$
|
|
Comme $\displaystyle \forall t \in [0; 1], \quad |f(t)| \leq \sup_{s \in [0; 1]}(f(s)) = \|f\|_{\infty}$
|
|
On a :
|
|
$\|f\|_{1} = \int _{0}^{1}|f(t)| \, dt \leq \int _{0}^{1} \|f\|_{\infty} \, dt$
|
|
$\|f\|_{1} \leq \|f\|_{\infty } \int _{0}^{1} 1 \, dt$
|
|
$\|f\|_{1} \leq \|f\|_{\infty } \times 1$
|
|
$\|f\|_{1} \leq \|f\|_{\infty }$ - on dit que $\|\cdot\|_{\infty }$ est plus forte que $\|\cdot\| _{1}$
|
|
On a donc l'inégalité dans un sens
|
|
|
|
Dans le sens contraire :
|
|
On veut montrer que l'assertion $\exists \Lambda > 0, \quad \forall f \in \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R}), \quad \|f\|_{\infty } \leq \Lambda \|f\|_{1}$ est fausse.
|
|
On va construire une suite $(f_{n})_{n}$ de fonctions telles que :
|
|
$\|f_{n}\|_{\infty } = 1$ et $\|f_{n}\|_{1} \xrightarrow{n \to \infty} 0$
|
|
En effet, si un tel $\Lambda $ existait, on aurait :
|
|
$1 = \|f_{n}\|_{\infty } \leq \Lambda \|f_{n}\|_{1}$
|
|
or, comme $\lim\limits_{ n \to \infty } \|f_{n}\|_{1} = 0$
|
|
on aurait :
|
|
$1 \leq \Lambda \lim\limits_{ n \to \infty }\|f_{n}\|$, soit $1 \leq 0$, ce qui est absurde.
|
|
Comme une telle suite $f_{n}$ existe (par exemple $f_{n}(t) = t^{n}$ pour $n \geq 1$, c'est qu'un tel $\Lambda$ n'existe pas, et donc on peut conclure qu'il est impossible d'avoir :
|
|
$\|f\|_{\infty } \leq \Lambda \|f\|_{1}$
|
|
La [[norme infini]] la [[norme p|norme 1]] ne sont donc pas équivalentes sur $\mathcal{C}([0; 1], \mathbb{R})$
|
|
|