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up:: normes équivalentes, norme p #maths/algèbre
On veut démontrer que \|\cdot \|_{1} et \|\cdot \|_{\infty} ne sont pas équivalente sur \mathcal{C}([0; 1], \mathbb{R})
Comme \displaystyle \forall t \in [0; 1], \quad |f(t)| \leq \sup_{s \in [0; 1]}(f(s)) = \|f\|_{\infty}
On a :
\|f\|_{1} = \int _{0}^{1}|f(t)| \, dt \leq \int _{0}^{1} \|f\|_{\infty} \, dt
\|f\|_{1} \leq \|f\|_{\infty } \int _{0}^{1} 1 \, dt
\|f\|_{1} \leq \|f\|_{\infty } \times 1
\|f\|_{1} \leq \|f\|_{\infty } - on dit que \|\cdot\|_{\infty } est plus forte que \|\cdot\| _{1}
On a donc l'inégalité dans un sens
Dans le sens contraire :
On veut montrer que l'assertion \exists \Lambda > 0, \quad \forall f \in \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R}), \quad \|f\|_{\infty } \leq \Lambda \|f\|_{1} est fausse.
On va construire une suite (f_{n})_{n} de fonctions telles que :
\|f_{n}\|_{\infty } = 1 et \|f_{n}\|_{1} \xrightarrow{n \to \infty} 0
En effet, si un tel \Lambda existait, on aurait :
1 = \|f_{n}\|_{\infty } \leq \Lambda \|f_{n}\|_{1}
or, comme \lim\limits_{ n \to \infty } \|f_{n}\|_{1} = 0
on aurait :
1 \leq \Lambda \lim\limits_{ n \to \infty }\|f_{n}\|, soit 1 \leq 0, ce qui est absurde.
Comme une telle suite f_{n} existe (par exemple f_{n}(t) = t^{n} pour n \geq 1, c'est qu'un tel \Lambda n'existe pas, et donc on peut conclure qu'il est impossible d'avoir :
\|f\|_{\infty } \leq \Lambda \|f\|_{1}
La norme infini la norme p ne sont donc pas équivalentes sur \mathcal{C}([0; 1], \mathbb{R})