cours/décomposition en somme d'une matrice symétrique et d'une antisymétrique.md

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décomposition en matrice symétrique et antisymétrique

up:: matrice title:: "toute matrice carrée se décompose en S+A, avec \,^TS=S et $,^TA=-A$" #maths/algèbre

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[!definition] Décomposition d'une matrice en somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique Soit M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) une matrice carrée On sait que M se décompose toujours en une somme d'une matrice symétrique, et d'une matrice antisymétrique, c'est-à-dire sous la forme : M = S + A avec \,^TS=S et \,^TA=-A

Alors, on appelle :

• S la partie symétrique de M
  • \boxed{S = \frac{1}{2}(M + \,^TM)}
• A la partie antisymétrique de M
  • \boxed{A = \frac{1}{2}(M - \,^TM)} ^definition