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alias: [ "décomposition en matrice symétrique et antisymétrique" ]
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up:: [[matrice]]
title:: "toute matrice carrée se décompose en $S+A$, avec $\,^TS=S$ et $\,^TA=-A$"
#maths/algèbre 

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> [!definition] Décomposition d'une matrice en somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique
> Soit $M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ une matrice carrée
> On sait que $M$ se décompose toujours en une somme d'une [[matrice symétrique]], et d'une [[matrice antisymétrique]], c'est-à-dire sous la forme :
> $M = S + A$ avec $\,^TS=S$ et $\,^TA=-A$
> 
> Alors, on appelle :
>  - $S$ la **partie symétrique** de $M$
>      - $\boxed{S = \frac{1}{2}(M + \,^TM)}$
>  - $A$ la **partie antisymétrique** de $M$
>      - $\boxed{A = \frac{1}{2}(M - \,^TM)}$
^definition