cours/boule fermée.md

up:: boule sibling:: boule ouverte #maths/algèbre

[!definition] boule fermée Soit (X, d) un espace métrique On appelle boule ouverte de centre x_0 \in X et de rayon r \geq 0 la partie \overline{B}(x_0, r) de X définie par : \overline{B}(x_0, r) = \{ x \in X \mid d(x_0, x) \leq r \} ^definition

[!idea] autres notations pour les boules fermées \overline{B}(x_0, r), \overline{B}_{r}(x_0), \overline{B}_{x_0}(r)

Propriétés

[!proposition] Toute boule fermée est un partie fermée d'un espace métrique Soit (X, d) un espace métrique La boule fermée \overline{B}(x_0, r) est un fermé de X

[!démonstration]- Démonstration Soit (x_{n})_{n\in\mathbb{N}} une suite d'éléments de \overline{B}(x_0, n) qui converge vers l \in X On veut montrer que l \in \overline{B}(x_0, r) Pour cela, on utilise le fait que d(x_0, x_{n}) \xrightarrow{n \to \infty}d(x_0, l) En effet, on a \forall n \in \mathbb{N}, \quad d(x_0, x_{n}) \leq r car x_{n} \in \overline{B}(x_0, r) Donc, en passant à la limite, on a : \begin{cases} d(x_0, l) \leq r\\ l \in X \end{cases} Donc, l \in \overline{B}(x_0, r)

Exemples

• = Voir Exemples de boules

[!example] Exemple pour la distance euclidienne !boule fermée 2024-09-09 10.26.02.excalidraw ^example