up:: [[boule]]
sibling:: [[boule ouverte]]
#maths/algèbre 

> [!definition] boule fermée
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> On appelle **boule ouverte** de centre $x_0 \in X$ et de rayon $r \geq 0$  la partie $\overline{B}(x_0, r)$ de $X$ définie par :
> $\overline{B}(x_0, r) = \{ x \in X \mid d(x_0, x) \leq r \}$
^definition

> [!idea] autres notations pour les boules fermées
> $\overline{B}(x_0, r)$, $\overline{B}_{r}(x_0)$, $\overline{B}_{x_0}(r)$

# Propriétés

> [!proposition] Toute boule fermée est un [[partie fermée d'un espace métrique|fermé]] 
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> La [[boule fermée]] $\overline{B}(x_0, r)$ est un fermé de $X$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\overline{B}(x_0, n)$ qui converge vers $l \in X$
> > On veut montrer que $l \in \overline{B}(x_0, r)$
> > Pour cela, on utilise le fait que $d(x_0, x_{n}) \xrightarrow{n \to \infty}d(x_0, l)$
> > En effet, on a $\forall n  \in \mathbb{N}, \quad d(x_0, x_{n}) \leq r$ car $x_{n} \in \overline{B}(x_0, r)$
> > Donc, en passant à la limite, on a :
> > $\begin{cases} d(x_0, l) \leq r\\ l \in X \end{cases}$
> > Donc, $l \in \overline{B}(x_0, r)$

# Exemples
- = Voir [[Exemples de boules]]

> [!example] Exemple pour la [[distance euclidienne]]
> ![[boule fermée 2024-09-09 10.26.02.excalidraw|300]]
^example