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up::[[équation diophantienne]]
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title::"$ax+by=c \qquad (a, b, c)\in\mathbb{Z}^{3}$"
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#maths/arithmétique
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> [!definition] Equation linéaire à 2 variables entières
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> Ue équation linéaire à deux variables entières est une équation de la forme :
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> $(E) : ax+by = c$
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> où $(a, b, c)\in\mathbb{Z}^3$
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^definition
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# Propriétés
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- L'équation $(E)$ possède des solutions $(x, y)\in\mathbb{Z}^2$ **si et seulement si $\mathrm{pgcd}(a,b)|c$**
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- voir : [[pgcd]] et [[divisibilité]]
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- conséquence du [[théorème de Bézout]]
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- Si $\mathrm{pgcd}(a; b)|c$ alors il existe une **infinité** de solutions entières
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- Si il existe des solutions, elles sont **exactement** les couples $(x, y)$ dans $\{(x_0+\alpha k, y_0+\beta k) | k\in\mathbb{Z}\}$ avec $(x_0,y_0,\alpha,\beta)\in\mathbb{Z}^4$
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# Trouver des solutions
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On utilise l'[[algorithme d'Euclide inverse]] pour trouver des [[coefficients de Bézout]]
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