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up::équation diophantienne title::"$ax+by=c \qquad (a, b, c)\in\mathbb{Z}^{3}$" #maths/arithmétique

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[!definition] Equation linéaire à 2 variables entières Ue équation linéaire à deux variables entières est une équation de la forme : (E) : ax+by = c où (a, b, c)\in\mathbb{Z}^3 ^definition

Propriétés

• L'équation (E) possède des solutions (x, y)\in\mathbb{Z}^2 si et seulement si $\mathrm{pgcd}(a,b)|c$
  • voir : pgcd et divisibilité
  • conséquence du théorème de Bézout
• Si \mathrm{pgcd}(a; b)|c alors il existe une infinité de solutions entières
• Si il existe des solutions, elles sont exactement les couples (x, y) dans \{(x_0+\alpha k, y_0+\beta k) | k\in\mathbb{Z}\} avec (x_0,y_0,\alpha,\beta)\in\mathbb{Z}^4

Trouver des solutions

On utilise l'algorithme d'Euclide inverse pour trouver des coefficients de Bézout