cours/groupe monogène.md

aliases

aliases
monogène

up:: sous groupe engendré #maths/algèbre

[!definition] groupe monogène On dit qu'un groupe G est monogène s'il est engendré par un élément : \exists g \in G,\quad G = \left\langle G \right\rangle ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Proposition si G = \left\langle g \right\rangle est monogène, alors G = \{ g^{n} \mid n \in \mathbb{Z} \}

• ! Il peut y avoir des répétitions : on peut avoir n \neq m mais g^{n} = g^{m}

[!proposition]+ monogène \implies commutativité Tout groupe monogène est commutativité.

• I vient du fait qu'un groupe homogène est composé seulement de puissances d'un même élément

[!démonstration]- Démonstration Si G = \left\langle x \right\rangle, alors pour g, h \in G on a : si a, b \in \mathbb{Z} sont tels que g = x^{a} et h = x^{b} alors gh = x^{a}x^{b} = x^{a+b} = x^{b+a} = x^{b}+x^{a} = hg donc h et g commutent, et G est bien commutatif

Exemples

[!example] \mathbb{Z} \mathbb{Z} est monogène. On a même : k \in \mathbb{Z} \text{ engendre } \mathbb{Z} \iff k = \pm 1

[!démonstration]- Démonstration

• \impliedby \left\langle k \right\rangle = \{ nk \mid n \in \mathbb{Z} \} par définition d'un groupe engendré (notation additive) On a \forall n \in \mathbb{Z},\quad n = n\times 1 \in \left\langle 1 \right\rangle donc \mathbb{Z} \subseteq \left\langle 1 \right\rangle, donc \mathbb{Z} = \left\langle 1 \right\rangle et 1 engendre \mathbb{Z} De même, n = (-n)(-1) \in \left\langle -1 \right\rangle donc -1 engendre \mathbb{Z}
• \implies Si maintenant k \in \mathbb{Z} est tel que \left\langle k \right\rangle = \mathbb{Z} (k engendre \mathbb{Z}) alors 1 \in \left\langle k \right\rangle donc \exists n \in \mathbb{Z},\quad 1 = nk ainsi, k = \pm 1 car n, k \in \mathbb{Z}

[!example] \mathbb{Q} n'est pas monogène