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aliases:
  - monogène
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up:: [[sous groupe engendré]]
#maths/algèbre 

> [!definition] [[groupe monogène]]
> On dit qu'un groupe $G$ est **monogène** s'il est engendré par un élément :
> $\exists g \in G,\quad G = \left\langle G \right\rangle$
^definition

# Propriétés
> [!proposition]+ Proposition
> si $G = \left\langle g \right\rangle$ est monogène, alors $G = \{ g^{n} \mid n \in \mathbb{Z} \}$
> - ! Il peut y avoir des répétitions : on peut avoir $n \neq m$ mais $g^{n} = g^{m}$

> [!proposition]+ monogène $\implies$ [[commutativité|commutatif]]
> Tout groupe monogène est [[commutativité|commutatif]].
> - I vient du fait qu'un groupe homogène est composé seulement de puissances d'un même élément
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Si $G = \left\langle x \right\rangle$, alors pour $g, h \in G$ on a :
> > si $a, b \in \mathbb{Z}$ sont tels que $g = x^{a}$ et $h = x^{b}$
> > alors $gh = x^{a}x^{b} = x^{a+b} = x^{b+a} = x^{b}+x^{a} = hg$
> > donc $h$ et $g$ commutent, et $G$ est bien commutatif

# Exemples

> [!example] $\mathbb{Z}$
> $\mathbb{Z}$ est monogène. On a même :
> $k \in \mathbb{Z} \text{ engendre } \mathbb{Z}$ $\iff$ $k = \pm 1$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - $\impliedby$
> > $\left\langle k \right\rangle = \{ nk \mid n \in \mathbb{Z} \}$ par définition d'un groupe engendré (notation additive)
> > On a $\forall n \in \mathbb{Z},\quad n = n\times 1 \in \left\langle 1 \right\rangle$ 
> > donc $\mathbb{Z} \subseteq \left\langle 1 \right\rangle$, donc $\mathbb{Z} = \left\langle 1 \right\rangle$ et $1$ engendre $\mathbb{Z}$
> > De même, $n = (-n)(-1) \in \left\langle -1 \right\rangle$ donc $-1$ engendre $\mathbb{Z}$
> > - $\implies$
> > Si maintenant $k \in \mathbb{Z}$ est tel que $\left\langle k \right\rangle = \mathbb{Z}$ ($k$ engendre $\mathbb{Z}$)
> > alors $1 \in \left\langle k \right\rangle$ donc $\exists n \in \mathbb{Z},\quad 1 = nk$
> > ainsi, $k = \pm 1$ car $n, k \in \mathbb{Z}$
> > 

> [!example] $\mathbb{Q}$ n'est **pas** monogène
>