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up:: [[groupe monogène]], [[groupe fini]]
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#maths/algèbre
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> [!definition] [[groupe cyclique]]
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> Un groupe $G$ est **cyclique** si il est [[groupe monogène|monogène]] et [[groupe fini|fini]]
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^definition
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# Propriétés
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# Exemples
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> [!example] $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ avec $n\geq2$
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> Soit $n \geq 2$, le groupe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est cyclique, et :
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> $\overline{k} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \text{ engendre }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $\iff$ $\overline{k} \in \left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \right)^{\times}$ ($k$ est premier avec $n$)
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > - $\forall \overline{m} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
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> [!example] $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ pour $p$ premier
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> Si $p$ est [[nombre premier|premier]], alors $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ est cyclique
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> [!example] $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{2}$ n'est **pas** cyclique
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