cours/groupe cyclique.md

up:: groupe monogène, groupe fini #maths/algèbre

[!definition] groupe cyclique Un groupe G est cyclique si il est groupe monogène et groupe fini ^definition

Propriétés

Exemples

[!example] \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} avec n\geq2 Soit n \geq 2, le groupe \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} est cyclique, et : \overline{k} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \text{ engendre }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \iff \overline{k} \in \left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \right)^{\times} (k est premier avec n)

[!démonstration]- Démonstration

• \forall \overline{m} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}

[!example] (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times} pour p premier Si p est nombre premier, alors (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times} est cyclique

[!example] (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{2} n'est pas cyclique