cours/polynôme d'endomorphisme.md

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	polynôme endomorphisme linéaire	s/maths/algèbre

[!definition] Définition Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel avec \dim(E) = n Soit P = a_0 + a_1 X + \cdots +a_{k}X^{k} \in K[X] (polynôme) On note alors :

• Si f \in \mathscr{L}(E) alors P(f) = a_0 \mathrm{Id}_{E} + a_1 f + \cdots + a_{k}f^{k}
• Si A \in \mathcal{M}_{n}(K) alors P(A) = a_0 I_{n} + a_1 A + \cdots + a_{k}A^{k} ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Les polynômes d'endomorphismes sont linéaires P(f) \in \mathscr{L}(E)

[!proposition]+ Préservation des bases Si B est une base d'un espace vectoriel de E, alors [P(f)]_{B} = P([f]_{B})

• dem Cela vient du fait que f \mapsto [f]_{B} est un isomorphisme d'anneaux

[!proposition]+ Les polynômes d'endomorphismes sont linéaires (\lambda P + Q)(f) = \lambda P(f) + Q(f)

[!proposition]+ Commutativité des polynômes d'endomophismes (PQ)(f) = P(f) \circ Q(f) = (QP)(f)

• I en particulier : P(f) = (\mathrm{id} \circ P)(f) = \mathrm{id}(f) \circ P(f) = f(P(f))

[!proposition]+ Stabilité du noyau d'un morphisme de groupes et de l'image \ker P(f) et \operatorname{Im} Q(f) sont stables par f

[!démonstration]- Démonstration P(f)(f(x)) = f(P(f)(x))=0 donc f(x) = \ker P(f) De même, si x \in \operatorname{Im}(P(f)) alors il existe y \in E tel que x = P(f)(y), et on a alors f(x) = f(P(f)(y)) \in \operatorname{Im}(f)

[!proposition]+ Valeurs propres Si \lambda est valeur propre d'une matrice de f alors P(\lambda) est valeur propre de P(f)

[!démonstration]- Démonstration On montre par réccurence que \lambda^{k} est valeurs propre de f^{k} et on en déduit le résultat.

[!proposition]+ Lemme des noyaux Soit f \in \mathscr{L}(E) et P_1, \dots, P_{k} \in K[X] deux à deux premiers entre eux Posons P = P_1 \cdot P_2 \cdots P_{k} alors : \ker P(f) = \oplus _{i=1}^{k} \ker P_{i}(f)

Exemples