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aliases: 
up:
  - "[[polynôme]]"
  - "[[endomorphisme linéaire]]"
tags:
  - s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] avec $\dim(E) = n$
> Soit $P = a_0 + a_1 X + \cdots +a_{k}X^{k} \in K[X]$ ([[polynôme]])
> On note alors :
> - Si $f \in \mathscr{L}(E)$ alors $P(f) = a_0 \mathrm{Id}_{E} + a_1 f + \cdots + a_{k}f^{k}$
> - Si $A \in \mathcal{M}_{n}(K)$ alors $P(A) = a_0 I_{n} + a_1 A + \cdots + a_{k}A^{k}$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Les polynômes d'endomorphismes sont linéaires
> $P(f) \in \mathscr{L}(E)$

> [!proposition]+ Préservation des bases
> Si $B$ est une [[base d'un espace vectoriel|base]] de $E$, alors $[P(f)]_{B} = P([f]_{B})$
>  - dem Cela vient du fait que $f \mapsto [f]_{B}$ est un [[isomorphisme d'anneaux]]

> [!proposition]+ Les polynômes d'endomorphismes sont linéaires
> $(\lambda P + Q)(f) = \lambda P(f) + Q(f)$

> [!proposition]+ Commutativité des polynômes d'endomophismes
> $(PQ)(f) = P(f) \circ Q(f) = (QP)(f)$
> - I en particulier : $P(f) = (\mathrm{id} \circ P)(f) = \mathrm{id}(f) \circ P(f) = f(P(f))$

> [!proposition]+ Stabilité du [[noyau d'un morphisme de groupes|noyau]] et de l'image
> $\ker P(f)$ et $\operatorname{Im} Q(f)$ sont stables par $f$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $P(f)(f(x)) = f(P(f)(x))=0$ donc $f(x) = \ker P(f)$
> > De même, si $x \in \operatorname{Im}(P(f))$ alors il existe $y \in E$ tel que $x = P(f)(y)$, et on a alors $f(x) = f(P(f)(y)) \in \operatorname{Im}(f)$

> [!proposition]+ Valeurs propres
> Si $\lambda$ est [[valeur propre d'une matrice|valeur propre]] de $f$ alors $P(\lambda)$ est valeur propre de $P(f)$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On montre par réccurence que $\lambda^{k}$ est valeurs propre de $f^{k}$ et on en déduit le résultat.

> [!proposition]+ Lemme des noyaux
> Soit $f \in \mathscr{L}(E)$ et $P_1, \dots, P_{k} \in K[X]$ deux à deux premiers entre eux
> Posons $P = P_1 \cdot P_2 \cdots P_{k}$
> alors : $\ker P(f) = \oplus _{i=1}^{k} \ker P_{i}(f)$


# Exemples