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groupe ensemble quotient	#maths/algèbre

[!definition] Définition Soit (G, *) un groupe Soit H \trianglelefteq G un sous groupe distingué de G Soit G /H l'ensemble quotient de G par H Soit la loi de composition interne \underline{*} définie par xH \underline{*} yH := (x*y)H

Alors (G /H, \underline{*}) est un groupe, qu'on appelle groupe quotient de G par H ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Quotient d'un sous groupe distingué Soit (G, *) un groupe Soit H \trianglelefteq G un sous groupe distingué de G Soit la loi de composition interne \underline{*} (loi du quotient) définie par : \begin{align} \underline{*} : G /H \times G /H &\to G /H \\ (xH, yH) &\mapsto xH \underline{*} yH := (x*y)H\end{align} Alors : \underline{*} est bien définie et munit G /H d'une structure de groupe pour laquelle :

• Le neutre de (G /H, \underline{*}) est H = 1_{G}H
• L'inverse est (xH)^{-1} = x ^{-1} H
• \underline{*} est commutative sur G /H si * est commutative sur G
  • ! G /H peut être commutatif sans que G le soit (par exemple, G \trianglelefteq G et G /G \simeq \{ 1 \} est commutatif)

[!démonstration]- Démonstration Pour montrer que \underline{*} est bien définie, on montre que si xH = x'H (x et x' ont les mêmes classes d'équivalence), et yH = y'H, alors xH \underline{*} yH = x'H \underline{*} y'H (le résultat ne dépend pas de l'élément choisi dans la classe d'équivalence). Ainsi, on veut montrer que (x*y)H = (x'*y')H On a : $$\begin{align} (x'y')H &= x'y'H \ &= x'(y'H) \ &= x'(yH) \ &= x'(Hy) & \text{car } H \trianglelefteq G \ &= (x'H)y \ &= (xH)y \ &= x(Hy) \ &= x(yH) & \text{car} H \trianglelefteq G \ &= (xy)H \end{align}$$

Montrons que (G /H, \underline{*}) est un groupe

• G /H \neq \emptyset car 1_{G} H \in G /H
• montrons que \underline{*} est associative $$\begin{align} \forall x, y, z \in G,\quad (xH \underline{} yH) \underline{} zH &= xy H \underline{} zH \ &= (xy)z H \ &= x(yz) H & \text{ par associativité de } * \text{ sur } G \ &= xH \underline{} yzH \ &= xH \underline{} (yH \underline{} zH) \end{align}$$
• 1_{G} H = H est un élément neutre : \forall g \in G,\quad gH \underline{*} 1_{G}H = (g 1_{G})H = gH = (1_{G}g)H = 1_{G}H \underline{*} gH
• \forall g \in G gH \underline{*} g^{-1}H = gg^{-1}H = 1_{G}H g^{-1}H \underline{*} gH = g^{-1}gH = 1_{G}H Donc gH possède g^{-1}H comme inverse

Ainsi, (G /H, \underline{*}) est un groupe. Il est commutatif si G l'est car, alors, (xH) \underline{*} (yH) = xyH = yxH = (yH) \underline{*} (xH)

[!proposition]+ Surjection canonique \pi Soit (G, *) un groupe Soit H \trianglelefteq G un sous groupe distingué de G L'application \pi définie par : \begin{align} \pi : G &\to G /H\\ x &\mapsto xH \end{align} est un morphisme surjection de noyau d'un morphisme de groupes H On dit que \pi est la surjection canonique (ou projection canonique)

• i En pratique, on utilise \pi pour écrire les éléments de G /H = \{ \pi(x) | x \in G \}

[!démonstration]- Démonstration L'application \pi est surjection par définition de G /H puisque : G /H := \{ xH \mid x \in G \}= \{ \pi(x) \mid x \in G \} Soit \underline{*} la loi sur le quotient G /H On a \forall x, y \in G, \pi(x*y) = (x*y)H = xH \underline{*} yH = \pi(x) \underline{*} \pi(y) Donc \pi est un morphisme de (G, *) \to (G /H, \underline{*}) On a aussi : $$\begin{align} \forall x \in G,\quad x \in \ker \pi &\iff \pi (x) = 1_{G/H} = H \ &\iff xH = 1H \ & \iff x \equiv 1 \ &\iff 1^{-1} x \in H & \text{par définition de } \equiv \ &\iff x \in H \end{align}$$

[!proposition]+ Propriétés de la surjection canonique Soit G un groupe Soit H \trianglelefteq G On considère G /H avec la surjection canonique \pi On a alors : \forall x, y \in G

• \pi(x)\pi(y) = \pi(xy)
• \pi(x) = \pi(y) \iff x \in Hy = yH

[!démonstration]- Démonstration

• \pi est un morphisme, donc la première propriété est évidente
• On a : \begin{align} \pi(x) = \pi(y) &\iff \pi(x)\pi(y)^{-1} = 1_{G /H} \\&\iff \pi(xy^{-1}) = 1_{G /H} \\&\iff xy^{-1} \in H \\&\iff x \in Hy \end{align} et Hy = yH puisque H \trianglelefteq G

[!proposition]+ Soit G un groupe Soit H< G un sous-groupe de G On a équivalence entre :

1. H \trianglelefteq G
2. Il existe un groupe G' et un morphisme f : G \to G' tels que H = \ker f

[!démonstration]- Démonstration

• 1. \impliedby 2. On a déjà vu que \ker f \trianglelefteq G
• 1. \implies 2.

Exemples

Exemple sur \mathbb{Z}

\mathbb{Z} est groupe abélien donc tout sous-groupe est sous groupe distingué. Ainsi, si n \in \mathbb{N}, alors n\mathbb{Z} \trianglelefteq \mathbb{Z} et le groupe quotient \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} est constitué des éléments \pi(k) pour k \in \mathbb{Z} où : \begin{align} \pi : \mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\\ k &\mapsto k + n\mathbb{Z} \end{align} On a \pi(k) = \pi(l) \iff l \in k + n\mathbb{Z} Donc \forall a \in \mathbb{Z},\quad \pi(k) = \pi(k + na) Alors on sait que \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{ \pi(0), \pi(1), \dots, \pi(n - 1) \} et que \# \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = n Habituellement, on note \overline{k} := \pi(k)

Exemple sur \mathbb{Q}

Le groupe \mathbb{Q} est abélien. Ainsi \mathbb{Z} \trianglelefteq \mathbb{Q} Dans \mathbb{Q} /\mathbb{Z} on a par exemple \pi\left( \frac{7}{4} \right) = \pi\left( \frac{3}{4} \right) car \frac{7}{4} - \frac{3}{4} =\frac{4}{4} = 1 \in \mathbb{Z} Si \frac{a}{b} \in \mathbb{Q} est irréductible avec b>0 alors o\left( \pi\left( \frac{a}{b} \right) \right) = b dans \mathbb{Q} /\mathbb{Z} Remarque : dans \mathbb{Q}, o\left( \frac{a}{b} \right) = +\infty

Exemple sur GL_{n}(\mathbb{R})

On rappelle que SL_{n}(\mathbb{R}) = \ker \det On sait que SL_{n}(\mathbb{R}) \trianglelefteq GL_{n}(\mathbb{R}) Ainsi G = GL_{n}(\mathbb{R}) /SL_{n}(\mathbb{R}) est un groupe d'éléments \pi(M) avec M \in GL_{n}(\mathbb{R})

Soit M \in GL_{n}(\mathbb{R}) La matrice N := M \underbrace{\begin{pmatrix}(\det M)^{-1} &&&\\ &1&&\\&& \ddots& \\ &&&1\end{pmatrix}}_{\Large D_{M}} \in GL_{n}(\mathbb{R}) a pour déterminant : \det N = \det M \times \det M^{-1} = 1

Ainsi 1_{G} = \pi(N) = \pi(MD_{M}) = \pi(M)\pi(D_{M}) donc \pi(D_{M})^{-1} = \pi(M) et donc \pi(M) = \pi(D_{M}{}^{-1}) = \pi(D_{M^{-1}}) Ainsi \begin{align} G &= \{ \pi(M) \mid M \in GL_{n}5\mathbb{R} \} \\&= \{ \pi(D_{M}) \mid M \in GL_{n}(\mathbb{R}) \} \\&= \left\{ \pi \left(\begin{pmatrix}\lambda&&&\\&1&&\\ &&\ddots&\\ &&&1\end{pmatrix}\right) \middle| \lambda \in \mathbb{R}^{*} \right\} \end{align}