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tags: "#maths/algèbre"
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> [!definition] Définition
> Soit $(G, *)$ un groupe
> Soit $H \trianglelefteq G$ un [[sous groupe distingué]] de $G$
> Soit $G /H$ l'[[ensemble quotient]] de $G$ par $H$
> Soit la loi de composition interne $\underline{*}$ définie par  $xH \underline{*} yH := (x*y)H$
> 
> Alors $(G /H, \underline{*})$ est un [[groupe]], qu'on appelle **groupe quotient** de $G$ par $H$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Quotient d'un [[sous groupe distingué]]
> Soit $(G, *)$ un groupe
> Soit $H \trianglelefteq G$ un [[sous groupe distingué]] de $G$
> Soit la loi de composition interne $\underline{*}$ (loi du quotient) définie par :
> $\begin{align} \underline{*} : G /H \times G /H &\to G /H \\ (xH, yH) &\mapsto xH \underline{*} yH := (x*y)H\end{align}$
> Alors :
> $\underline{*}$ est bien définie et munit $G /H$ d'une structure de [[groupe]] pour laquelle :
> - Le neutre de $(G /H, \underline{*})$ est $H = 1_{G}H$
> - L'inverse est $(xH)^{-1} = x ^{-1} H$
> - $\underline{*}$ est commutative sur $G /H$ si $*$ est commutative sur $G$
>     - ! $G /H$ peut être commutatif sans que $G$ le soit (par exemple, $G \trianglelefteq G$ et $G /G \simeq \{ 1 \}$ est commutatif)
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Pour montrer que $\underline{*}$ est bien définie, on montre que si $xH = x'H$ ($x$ et $x'$ ont les mêmes classes d'équivalence), et $yH = y'H$, alors $xH \underline{*} yH = x'H \underline{*} y'H$ (le résultat ne dépend pas de l'élément choisi dans la classe d'équivalence).
> > Ainsi, on veut montrer que $(x*y)H = (x'*y')H$
> > On a :
> > $$\begin{align} (x'*y')H &= x'y'H \\
> > &= x'(y'H) \\
> > &= x'(yH) \\
> > &= x'(Hy) & \text{car } H \trianglelefteq G \\
> > &= (x'H)y \\
> > &= (xH)y \\
> > &= x(Hy) \\
> > &= x(yH) & \text{car} H \trianglelefteq G \\
> > &= (x*y)H 
> > \end{align}$$
> > 
> > Montrons que $(G /H, \underline{*})$ est un groupe
> > - $G /H \neq \emptyset$ car $1_{G} H \in G /H$
> > - montrons que $\underline{*}$ est associative
> > $$\begin{align} 
> > \forall x, y, z \in G,\quad  (xH \underline{*} yH) \underline{*} zH &= xy H \underline{*} zH \\
> > &= (xy)z H \\
> > &= x(yz) H & \text{ par associativité de } * \text{ sur } G \\
> > &= xH \underline{*} yzH \\
> > &= xH \underline{*} (yH \underline{*} zH)
> > \end{align}$$
> > - $1_{G} H = H$ est un élément neutre :
> > $\forall g \in G,\quad gH \underline{*} 1_{G}H = (g 1_{G})H = gH = (1_{G}g)H = 1_{G}H \underline{*} gH$
> > - $\forall g \in G$
> > $gH \underline{*} g^{-1}H = gg^{-1}H = 1_{G}H$
> > $g^{-1}H \underline{*} gH = g^{-1}gH = 1_{G}H$
> > Donc $gH$ possède $g^{-1}H$ comme inverse
> > 
> > Ainsi, $(G /H, \underline{*})$ est un groupe. Il est commutatif si $G$ l'est car, alors, $(xH) \underline{*} (yH) = xyH = yxH = (yH) \underline{*} (xH)$

> [!proposition]+ Surjection canonique $\pi$
> Soit $(G, *)$ un groupe
> Soit $H \trianglelefteq G$ un [[sous groupe distingué]] de $G$
> L'application $\pi$ définie par :
> $\begin{align} \pi : G &\to G /H\\ x &\mapsto xH \end{align}$
> est un [[morphisme]] [[surjection|surjectif]] de [[noyau d'un morphisme de groupes|noyau]] $H$
> On dit que $\pi$ est la **surjection canonique** (ou projection canonique)
> 
> - i En pratique, on utilise $\pi$ pour écrire les éléments de $G /H = \{ \pi(x) | x \in G \}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > L'application $\pi$ est [[surjection|surjective]] par définition de $G /H$ puisque :
> > $G /H := \{ xH \mid x \in G \}= \{ \pi(x) \mid x \in G \}$
> > Soit $\underline{*}$ la loi sur le quotient $G /H$
> > On a $\forall x, y \in G,$
> > $\pi(x*y) = (x*y)H = xH \underline{*} yH = \pi(x) \underline{*} \pi(y)$
> > Donc $\pi$ est un [[morphisme]] de $(G, *) \to (G /H, \underline{*})$
> > On a aussi :
> > $$\begin{align}
> > \forall x \in G,\quad x \in \ker \pi &\iff \pi (x) = 1_{G/H} = H \\
> > &\iff xH = 1H \\
> > & \iff x \equiv 1 \\
> > &\iff 1^{-1} x \in H & \text{par définition de } \equiv \\
> > &\iff x \in H
> > \end{align}$$
> > 

> [!proposition]+ Propriétés de la surjection canonique
> Soit $G$ un groupe
> Soit $H \trianglelefteq G$
> On considère $G /H$ avec la surjection canonique $\pi$
> On a alors : $\forall x, y \in G$
> - $\pi(x)\pi(y) = \pi(xy)$
> - $\pi(x) = \pi(y) \iff x \in Hy = yH$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - $\pi$ est un morphisme, donc la première propriété est évidente
> > - On a :
> > $\begin{align} \pi(x) = \pi(y) &\iff \pi(x)\pi(y)^{-1} = 1_{G /H} \\&\iff \pi(xy^{-1}) = 1_{G /H} \\&\iff xy^{-1} \in H \\&\iff x \in Hy \end{align}$
> > et $Hy = yH$ puisque $H \trianglelefteq G$

> [!proposition]+ 
> Soit $G$ un groupe
> Soit $H< G$ un sous-groupe de $G$
> On a équivalence entre :
> 1. $H \trianglelefteq G$
> 2. Il existe un groupe $G'$ et un morphisme $f : G \to G'$ tels que $H = \ker f$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - 1. $\impliedby$ 2.
> > On a déjà vu que $\ker f \trianglelefteq G$
> > - 1. $\implies$ 2.

# Exemples

## Exemple sur $\mathbb{Z}$
$\mathbb{Z}$ est [[groupe abélien|abélien]] donc tout sous-groupe est [[sous groupe distingué|distingué]].
Ainsi, si $n \in \mathbb{N}$, alors $n\mathbb{Z} \trianglelefteq \mathbb{Z}$ et le groupe quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est constitué des éléments $\pi(k)$ pour $k \in \mathbb{Z}$ où :
$\begin{align}  \pi : \mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\\ k &\mapsto k + n\mathbb{Z} \end{align}$
On a $\pi(k) = \pi(l) \iff l \in k + n\mathbb{Z}$
Donc $\forall a \in \mathbb{Z},\quad \pi(k) = \pi(k + na)$
Alors on sait que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{ \pi(0), \pi(1), \dots, \pi(n - 1) \}$
et que $\# \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = n$
Habituellement, on note $\overline{k} := \pi(k)$

## Exemple sur $\mathbb{Q}$
Le groupe $\mathbb{Q}$ est abélien. Ainsi $\mathbb{Z} \trianglelefteq \mathbb{Q}$
Dans $\mathbb{Q} /\mathbb{Z}$ on a par exemple $\pi\left( \frac{7}{4} \right) = \pi\left( \frac{3}{4} \right)$ car $\frac{7}{4} - \frac{3}{4} =\frac{4}{4} = 1 \in \mathbb{Z}$
Si $\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}$ est irréductible avec $b>0$
alors $o\left( \pi\left( \frac{a}{b} \right) \right) = b$ dans $\mathbb{Q} /\mathbb{Z}$
Remarque : dans $\mathbb{Q}$, $o\left( \frac{a}{b} \right) = +\infty$

## Exemple sur $GL_{n}(\mathbb{R})$
On rappelle que $SL_{n}(\mathbb{R}) = \ker \det$
On sait que $SL_{n}(\mathbb{R}) \trianglelefteq GL_{n}(\mathbb{R})$
Ainsi $G = GL_{n}(\mathbb{R}) /SL_{n}(\mathbb{R})$ est un groupe d'éléments $\pi(M)$ avec $M \in GL_{n}(\mathbb{R})$

Soit $M \in GL_{n}(\mathbb{R})$
La matrice $N := M \underbrace{\begin{pmatrix}(\det M)^{-1} &&&\\ &1&&\\&& \ddots& \\ &&&1\end{pmatrix}}_{\Large D_{M}} \in GL_{n}(\mathbb{R})$
a pour déterminant :
$\det N = \det M \times \det M^{-1} = 1$

Ainsi $1_{G} = \pi(N) = \pi(MD_{M}) = \pi(M)\pi(D_{M})$
donc $\pi(D_{M})^{-1} = \pi(M)$ et donc $\pi(M) = \pi(D_{M}{}^{-1}) = \pi(D_{M^{-1}})$
Ainsi
$\begin{align} G &= \{ \pi(M) \mid M \in GL_{n}5\mathbb{R} \} \\&= \{ \pi(D_{M}) \mid M \in GL_{n}(\mathbb{R}) \} \\&= \left\{ \pi \left(\begin{pmatrix}\lambda&&&\\&1&&\\ &&\ddots&\\ &&&1\end{pmatrix}\right) \middle| \lambda \in \mathbb{R}^{*} \right\} \end{align}$