cours/suite finies d'entiers.md

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[!definition] suite finies d'entiers Une suite finie d'entier (ou, de manière équivalente, un n-uplet) peut être assimilé à :

• une application d'un ensemble fini I dans \mathbb{N}
• une application de [\![1;n]\!] \to \mathbb{N} ou de [\![0;n]\!] \to \mathbb{N}
• un couple de couples : (x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, x_{n}) est assimilé à (x_1, (x_2, (\cdots , (x_{n-1}, x_{n}) \cdots )))
• i On note parfois \mathscr{S} l'ensemble des suites finies d'entiers. (cf. [@coriLogiqueMathematique22003]) ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Représentation des suites comme nombres On peut trouver une bijection entre \mathbb{N} et l'ensemble des suites finies à p éléments. De plus, cette bijection est fonction récursive primitive.

[!démonstration]+ Démonstration On procède en définissant l'application de \mathscr{S} \to \mathbb{N} suivante : \Omega((x_0, x_1, \dots, x_{p})) = \pi(0)^{x_0} \cdot \pi(1)^{x_1} \cdot\cdots \cdot \pi(p)^{x_{p}} (voir fonction pi) On sait par l'arithmétique (décomposition en facteurs premiers) que cette fonction est bien une bijection. Par ailleurs, comme fonction pi#^8a6291

Exemples