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- "[[fonction partielle]]"
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tags:
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- s/maths/logique
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- s/informatique
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aliases:
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- schéma µ
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- schéma µ non borné
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> [!definition] [[schéma mu]]
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> Soit $f \in \mathscr{F}^{*}_{p+1}$, alors la [[fonction partielle]] :
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> $g(\overline{x}) = \mu y(f(\overline{x}, y) = 0)$
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> est définie de la façon suivante :
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> - S'il existe au moins un entier $z$ tel que $f(\overline{x}, z)$ soit nul et que, pour tout $z' < z$, $f(\overline{x}, z')$ soit définie, alors $g(\overline{x})$ est le plus petit de ces entiers $z$
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> - Dans le as contraire, $g(\overline{x})$ n'est pas définie.
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> Pour les ensembles:
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> Si $A \subseteq \mathbb{N}^{p+1}$, alors :
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> $\mu y((\overline{x}, y) \in A) = \mu y(1 \dot{-} \chi _{A}(\overline{x}, y) = 0)$ (voir [[fonction récursive primitive#^soustraction-positive|soustraction positive]])
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^definition
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> [!definition] [[schéma mu]] – Définition courte
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> Soit $f \in \mathscr{F}^{*}_{p+1}$
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> Le schéma $\mu$ permet de définir $g(\overline{x}) = \mu y(f(\overline{x}, y) = 0)$
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> Cette fonction $g$ est la fonction qui donne le plus petit $z\in \mathbb{N}$ tel que $f(\overline{x}, z)=0$ et tel que tous les $f(\overline{x}, z)$ précédents sont définis.
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> [!definition]+ [[schéma mu]] – Définition par un algorithme
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> Soit $f \in \mathscr{F}^{*}_{p+1}$ une fonction
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> La fonction $g(\overline{x}) = \mu y (f(\overline{x}, y) = 0)$ correspond à la fonction définie par cet algorithme :
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> ```python
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> def g(x₁, x₂, ..., xₚ):
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> for z in ℕ
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> if f(x₁, x₂, ..., xₚ, z) n'est pas définie:
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> return non définie
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> elif f(x₁, x₂, ..., xₚ, z) = 0:
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> return z
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> ```
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^definition-algorithme
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> [!idea] Intuition
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> L'idée est de préserver la propriété de posséder un algorithme de calcul.
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> Pour calculer $\mu y (f(\overline{x}, y)=0)$, on cherchera itérativement une valeur de $y$ en commençant par 0.
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> Le problème est que, si $f(\overline{x}, y)$ n'est pas définie pour l'une de ces valeurs, notre algorithme ne pourrait pas la calculer.
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> C'est pour cela que, si une des valeurs n'est pas dans le [[fonction partielle#^definition|domaine de définition]] de $f$, on considèrera que la recherche s'arrête ici.
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# Propriétés
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# Exemples
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