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up:
  - "[[fonction partielle]]"
tags:
  - s/maths/logique
  - s/informatique
aliases:
  - schéma µ
  - schéma µ non borné
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> [!definition] [[schéma mu]]
> Soit $f \in \mathscr{F}^{*}_{p+1}$, alors la [[fonction partielle]] :
> $g(\overline{x}) = \mu y(f(\overline{x}, y) = 0)$
> est définie de la façon suivante :
>  - S'il existe au moins un entier $z$ tel que $f(\overline{x}, z)$ soit nul et que, pour tout $z' < z$, $f(\overline{x}, z')$ soit définie, alors $g(\overline{x})$ est le plus petit de ces entiers $z$
>  - Dans le as contraire, $g(\overline{x})$ n'est pas définie.
> ---
> Pour les ensembles:
> Si $A \subseteq \mathbb{N}^{p+1}$, alors :
> $\mu y((\overline{x}, y) \in A) = \mu y(1 \dot{-} \chi _{A}(\overline{x}, y) = 0)$ (voir [[fonction récursive primitive#^soustraction-positive|soustraction positive]])
^definition

> [!definition] [[schéma mu]] – Définition courte
> Soit $f \in \mathscr{F}^{*}_{p+1}$
> Le schéma $\mu$ permet de définir $g(\overline{x}) = \mu y(f(\overline{x}, y) = 0)$
> Cette fonction $g$ est la fonction qui donne le plus petit $z\in \mathbb{N}$ tel que $f(\overline{x}, z)=0$ et tel que tous les $f(\overline{x}, z)$ précédents sont définis.

> [!definition]+ [[schéma mu]] – Définition par un algorithme
> Soit $f \in \mathscr{F}^{*}_{p+1}$ une fonction
> La fonction $g(\overline{x}) = \mu y (f(\overline{x}, y) = 0)$ correspond à la fonction définie par cet algorithme :
> ```python
> def g(x₁, x₂, ..., xₚ):
>     for z in ℕ
>         if f(x₁, x₂, ..., xₚ, z) n'est pas définie:
>             return non définie
>         elif f(x₁, x₂, ..., xₚ, z) = 0:
>             return z
> ```
^definition-algorithme

> [!idea] Intuition
> L'idée est de préserver la propriété de posséder un algorithme de calcul.
> Pour calculer $\mu y (f(\overline{x}, y)=0)$, on cherchera itérativement une valeur de $y$ en commençant par 0.
> Le problème est que, si $f(\overline{x}, y)$ n'est pas définie pour l'une de ces valeurs, notre algorithme ne pourrait pas la calculer.
> C'est pour cela que, si une des valeurs n'est pas dans le [[fonction partielle#^definition|domaine de définition]] de $f$, on considèrera que la recherche s'arrête ici.

# Propriétés

# Exemples