oskar
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up:
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- "[[calcul propositionnel]]"
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tags:
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- s/maths/logique
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aliases:
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- conséquence
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- ⊢*
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> [!definition] [[formule conséquence d'un ensemble de formules]]
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> Soit $\mathscr{A}$ un ensembles de formules et $G$ une formule du [[calcul propositionnel]]
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> $G$ est **conséquence** de $\mathscr{A}$ si et seulement si toute distribution de valeurs de vérité qui satisfait $\mathscr{A}$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+
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> $\mathscr{A} \vdash^{*} G \iff \mathscr{A} \cup \{ \neg G \}$ est [[ensemble de formules contradictoire|contradictoire]]
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > - $\boxed{\implies}$ supposons que $\mathscr{A} \vdash^{*} G$
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> > Soit $\delta$ une [[valuation]] qui [[ensemble de formules satisfait|satisfait]] $\mathscr{A}$, i.e. $\forall F \in \mathscr{A},\quad \delta(F) = 1$
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> > Puisque l'on a supposé $\mathscr{A} \vdash^{*} G$ sait que $\delta(G)=1$, et donc que $\delta(\neg G) = 0$, ce qui montre bien qu'aucune valuation satisfaisant $\mathscr{A}$ ne peut satisfaire aussi $\neg G$, et donc que $\mathscr{A} \cup \{ \neg G \}$ est contradictoire
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> > - $\boxed{\impliedby}$ supposons que $\mathscr{A} \cup \{ \neg G \}$ est contradictoire
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> > Alors, on sait que pour toute valuation $\delta$ on a $\exists F \in \mathscr{A} \cup \{ \neg G \},\quad \delta (F) = 0$
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> > -
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# Exemples
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