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up:
  - "[[calcul propositionnel]]"
tags:
  - s/maths/logique
aliases:
  - conséquence
  - ⊢*
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> [!definition] [[formule conséquence d'un ensemble de formules]]
> Soit $\mathscr{A}$ un ensembles de formules et $G$ une formule du [[calcul propositionnel]]
> $G$ est **conséquence** de $\mathscr{A}$ si et seulement si toute distribution de valeurs de vérité qui satisfait $\mathscr{A}$ 
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ 
> $\mathscr{A} \vdash^{*} G \iff \mathscr{A} \cup \{ \neg G \}$ est [[ensemble de formules contradictoire|contradictoire]]
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - $\boxed{\implies}$ supposons que $\mathscr{A} \vdash^{*} G$
> >   Soit $\delta$ une [[valuation]] qui [[ensemble de formules satisfait|satisfait]] $\mathscr{A}$, i.e. $\forall F \in \mathscr{A},\quad \delta(F) = 1$
> >   Puisque l'on a supposé $\mathscr{A} \vdash^{*} G$ sait que $\delta(G)=1$, et donc que $\delta(\neg G) = 0$, ce qui montre bien qu'aucune valuation satisfaisant $\mathscr{A}$ ne peut satisfaire aussi $\neg G$, et donc que $\mathscr{A} \cup \{ \neg G \}$ est contradictoire
> > - $\boxed{\impliedby}$ supposons que $\mathscr{A} \cup \{  \neg G \}$ est contradictoire
> >   Alors, on sait que pour toute valuation $\delta$ on a $\exists F \in \mathscr{A} \cup \{ \neg G \},\quad \delta (F) = 0$
> > - 


# Exemples