cours/calcul booléen.md

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algèbre de Boole	George Boole	#s/maths/logique

[!definition] Définition Algèbre de Boole, ou Calcul Booléen. Approche algébrique de la logique. S'intéresse au calcul sur des variables logiques (vrai ou faux). Il travaille donc sur l'ensemble des booléens ou sur tout ensemble à deux valeurs, qu'il munit d'opérations logiques. ^definition

Opérateurs

[!info] Opérateurs fondamentaux

• ou \vee avec A \vee B = \begin{cases} 1 \text{ si } A = 1 \text{ ou } B = 1\\ 0 \text{ sinon} \end{cases}
• et \wedge avec A \wedge B = \begin{cases} 1 \text{ si } A = 1 \text{ et } B = 1\\0 \text{ sinon} \end{cases}
• non \neg

[!info] autres opérateurs non nécessaires car déductibles des précédents

• implication \implies avec A \implies B = \neg A \vee B
• équivalence \iff avec A \iff B = (A \implies B) \wedge (B \implies A)
• ou exclusif | ou \oplus avec A \oplus B = \begin{cases} 1 \text{ si } A \neq B\\ 0 \text{ sinon} \end{cases}

Propriétés

[!proposition]+ Théorème Toute fonction logique \{ 0, 1 \}^{n} \to \{ 0, 1 \} peut s'exprimer à l'aide de \wedge, \vee et \neg uniquement, et même, au choix, de \wedge et \neg, ou bien de \vee et \neg (mais pas \vee ou \wedge). On montre aussi que le ou exclusif suffit.

[!démonstration]- Démonstration

1. Soit a = (a_1, \dots, a_{n}) \in \{ 0, 1 \}^{n} on va construire une fonction \delta _{a} à l'aide de \wedge et \neg telle que \delta _{a}(x) = \begin{cases} 1 \text{ si } x = a\\0 \text{ sinon} \end{cases} on note x_1^{a_1} = \begin{cases} x_1 \text{ si } a_{1} = 1\\ \neg x_1 \text{ si } a_1 = 0 \end{cases} On a alors \delta_{a}(x) = 1 si et seulement si \forall i,\quad x_{i}^{a_{i}} = 1 c'est-à-dire ssi \forall i,\quad x_{i} = a_{i}
2. soit f : \{ 0, 1 \}^{n} \to \{ 0, 1 \} A = \{ (a_1, \dots, a_{n}) | f(a_1, \dots, a_{n}) = 1 \} f(x) = \underbrace{\bigvee_{a \in A} \delta _{a}(x)}_{\substack{\text{vaut 1 ssi}\\ \exists a \in A,\quad \delta _{a}(x) = 1\\ \text{c'est-à-dire }\\ \exists a \in A,\quad x = a}}
   • ! quand f est la fonction nulle, A est vide, et il faut donc que \bigvee_{a \in\emptyset} a = 0. C'est bien le cas car \bigvee_{a \in X\cup Y }a = \bigvee_{a \in X}a \vee \bigvee_{a \in Y}a et de cette propriété on tire que \bigvee_{}