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up:
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- "[[structure algébrique]]"
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tags:
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- "#s/maths/algèbre"
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aliases:
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- anneaux
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> [!definition]
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> Soit un ensemble $A$ et deux lois $+$ et $\times$
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> $(A, +, \times)$ est un **anneau** ssi :
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> - $(A, +)$ est un [[groupe abélien]]
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> - $+$ est [[associativité|associative]], [[commutativité|commutative]]
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> - il existe un [[élément neutre]] $0_{A}$ pour $+$
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> - tous les éléments sont [[éléments inversibles|symétrisables]] par $+$
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> - $(A, \times)$ est un [[monoïde]]
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> - $\times$ est [[associativité|associative]]
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> - il y a un [[élément neutre]] $1_{A}$ pour $\times$
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> - $\times$ est [[distributivité|distributive]] par rapport à $+$ (à droite et à gauche)
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> - $\forall (x; a; b) \in A, \quad x \times (a + b) = (x \times a) + (x \times b)$
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^definition
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```breadcrumbs
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title: "Sous-notes"
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type: tree
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collapse: true
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show-attributes: [field]
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field-groups: [downs]
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depth: [0, 2]
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```
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# Propriétés
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> [!proposition]+ $0$ est un élément absorbant
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> Soit $(A, +, \times)$ un anneau
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> Soit $0_{A}$ l'élement neutre pour $+$
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> $0_{A}$ est **absorbant**, c'est-à-dire que :
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> $\forall a \in A,\quad a0_{A} = 0_{A}$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > $a0_{A} = a(0_{A} + 0_{A}) = a0_{A} + a 0_{A}$
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> > d'où suite que $a 0_{A} = 0_{A}$
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> [!proposition]+ Distributivité généralisée
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> Soient $m, n \in \mathbb{N}^{*}$
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> Soient $(a_1, \dots, a_{n}) \in A^{n}$ et $(b_1, \dots, b_{n}) \in A^{n}$
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> On a :
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> $\left( \sum\limits_{i=1}^{m} a_{i}\right) \times \left( \sum\limits_{j=1}^{n}b_{j} \right) = \sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}(a_{i}b_{j})$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > La démonstration se fait par double récurrence sur $m$ et sur $n$
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# Exemples
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