cours/espace topologique des types.md

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type	s/maths/topologie s/maths/logique

[!definition] Définition Soit \mathcal{F}_{n} l'ensemble des formules à variables libres dans \{ x_1, \dots, x_{n} \} On note \mathscr{S}_{n} \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{F}_{n})) l'ensemble de tous les types en \{ x_1, \dots, x_{n} \}

• i \mathscr{S}_{0} est l'ensemble de toutes les théories

[!proposition]+ Topologie sur \mathscr{S}_{n} f \in \mathcal{F}_{n} \{ t \in \mathscr{S}_{n} \mid f \in t \} = V(f) \subset \mathscr{S}_{n}

• i V(f) \cap V(g) = \{ t \in \mathscr{S}_{n} \mid f \in t \wedge g \in t \} = V(f \cap g) t = \operatorname{tp}_{A}(a) f, g \in t \begin{cases} A \models f(a) \\ A \models g(a) \end{cases} \iff A \models ( f \wedge g )(a)

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X - V(f) = V(\neg f) f \notin \operatorname{tp}(a),\quad A \not \models f(a) \iff A \models \neg f(a)

[!definition] Ouverts sur \mathscr{S}_{n} Une partie W de \mathscr{S}_{n} est ouverte si c'est une réunion de parties de la forme V(v)

[!definition] Topologie sur \mathscr{S}_{n} On peut maintenant former une structure de topologie sur \mathscr{S}_{n} :

• \emptyset est ouvert car \emptyset = V(\bot)
• \mathscr{S}_{n} est ouvert car \mathscr{S}_{n} = V(\top)
• Si W_1, W_2 sont ouverts, alors \displaystyle W_1 \cap W_2 = \bigcup _{(i, j)} V(f_{i}) \cap V(g_{j}) = \bigcup _{(i, j)} V(f_{i} \wedge g_{j}) avec W_1 = \bigcup _{i \in I} V(f_{i}) et \displaystyle W_2 = \bigcup _{j \in J} V(g_{j})

Propriétés

[!proposition]+ Théorème \mathscr{S}_{n} est un structure de topologie espace topologique compact et espace topologique totalement discontinu

[!démonstration]- Démonstration