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- "[[ultrafiltre]]"
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tags:
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- s/maths/logique
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- s/maths/topologie
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aliases:
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- i Łoś se prononce "Wosh"
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> [!proposition]+ Lemme du [[théorème de Łoś]]
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> Soit $\mathscr{F}$ un filtre non trivial sur un ensemble $X$
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> Il y à équivalence entre ces 3 propositions :
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> 1. $\mathscr{F}$ est un ultrafiltre
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> 2. si $A, B\subseteq X$ vérifient $A \cup B \in \mathscr{F}$ alors $A \in \mathscr{F}$ et $B \in \mathscr{F}$
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> 3. si $A \subseteq X$ alors $A \in \mathscr{F}$ ou $(X \setminus A) \in \mathscr{F}$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > **$1 \implies 2$**
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> > Soit $\mathscr{F}$ un [[ultrafiltre]] sur $X$
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> > on suppose $A \cup B unn \mathscr{F}$ mais $B \notin \mathscr{F}$
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> > Démontrons $A \in \mathscr{F}$ :
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> > Soit $\mathscr{F}'$ l'ensemble des parties de $X$ qui contiennent une partie de la forme $A \cap F$ où $F \in \mathscr{F}$
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> > $\mathscr{F}'$ est un filtre non trivial qui contient $\mathscr{F}$ (admis)
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> > Alors :
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> > $\mathscr{F}' = \mathscr{F}$ ($\mathscr{F}$ est un ultrafiltre)
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> > $F = A \cup B \in \mathscr{F}$
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> > donc $A \cap F \in \mathscr{F}'$
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> > et donc $A \cap F \in \mathscr{F}$
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> [!proposition]+ [[théorème de Łoś]]
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> On considère une famille $(M_{i})_{i \in I}$ de structures pour une signature logique donnée
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> Soit $\mathcal{U}$ un [[ultrafiltre]] sur $I$
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> Pour tout énoncé $\varphi$ (autrement dit, pour toute formule $\varphi(x_1, \dots, x_{n})$) et pour tout $\alpha^{\mathcal{U}} \in \prod\limits_{i \in I}{}^{\mathcal{U}} M_{i}$
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> on a équivalence entre les énoncés suivants :
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> 4. l'[[ultraproduit]] $\prod\limits_{i \in I}{}^{\mathcal{U}}M_{i}$ satisfait $\varphi$
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> - i.e. : $\prod\limits_{i \in I}{}^{\mathcal{U}} M_{i} \models \varphi$
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> 5. l'ensemble des $i \in I$ tels que $M_{i}$ satisfait $\varphi$ ($M_{i} \models \varphi$) appartient à $\mathcal{U}$
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> - $\{ i \in I \mid M_{i} \models \varphi \} \subseteq \mathcal{U}$
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