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alias: "algèbre de Boole"
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author: "[[George Boole]]"
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tags: "#s/maths/logique"
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> [!definition] Définition
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> _Algèbre de Boole_, ou _Calcul Booléen_.
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> Approche algébrique de la **logique**.
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> S'intéresse au calcul sur des variables logiques (vrai ou faux).
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> Il travaille donc sur l'[[ensemble des booléens]] ou sur tout ensemble à deux valeurs, qu'il munit d'opérations logiques.
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^definition
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# Opérateurs
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> [!info] Opérateurs fondamentaux
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> - ou $\vee$ avec $A \vee B = \begin{cases} 1 \text{ si } A = 1 \text{ ou } B = 1\\ 0 \text{ sinon} \end{cases}$
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> - et $\wedge$ avec $A \wedge B = \begin{cases} 1 \text{ si } A = 1 \text{ et } B = 1\\0 \text{ sinon} \end{cases}$
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> - non $\neg$
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> [!info] autres opérateurs
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> non nécessaires car déductibles des précédents
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> - implication $\implies$ avec $A \implies B = \neg A \vee B$
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> - équivalence $\iff$ avec $A \iff B = (A \implies B) \wedge (B \implies A)$
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> - ou exclusif $|$ ou $\oplus$ avec $A \oplus B = \begin{cases} 1 \text{ si } A \neq B\\ 0 \text{ sinon} \end{cases}$
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Théorème
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> Toute fonction logique $\{ 0, 1 \}^{n} \to \{ 0, 1 \}$ peut s'exprimer à l'aide de $\wedge$, $\vee$ et $\neg$ uniquement, et même, au choix, de $\wedge$ et $\neg$, ou bien de $\vee$ et $\neg$ (mais pas $\vee$ ou $\wedge$).
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> On montre aussi que le ou exclusif suffit.
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > 1. Soit $a = (a_1, \dots, a_{n}) \in \{ 0, 1 \}^{n}$ on va construire une fonction $\delta _{a}$ à l'aide de $\wedge$ et $\neg$ telle que $\delta _{a}(x) = \begin{cases} 1 \text{ si } x = a\\0 \text{ sinon} \end{cases}$
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> > on note $x_1^{a_1} = \begin{cases} x_1 \text{ si } a_{1} = 1\\ \neg x_1 \text{ si } a_1 = 0 \end{cases}$
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> > On a alors $\delta_{a}(x) = 1$ si et seulement si $\forall i,\quad x_{i}^{a_{i}} = 1$ c'est-à-dire ssi $\forall i,\quad x_{i} = a_{i}$
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> > 2. soit $f : \{ 0, 1 \}^{n} \to \{ 0, 1 \}$
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> > $A = \{ (a_1, \dots, a_{n}) | f(a_1, \dots, a_{n}) = 1 \}$
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> > $f(x) = \underbrace{\bigvee_{a \in A} \delta _{a}(x)}_{\substack{\text{vaut 1 ssi}\\ \exists a \in A,\quad \delta _{a}(x) = 1\\ \text{c'est-à-dire }\\ \exists a \in A,\quad x = a}}$
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> > - ! quand $f$ est la fonction nulle, $A$ est vide, et il faut donc que $\bigvee_{a \in\emptyset} a = 0$. C'est bien le cas car $\bigvee_{a \in X\cup Y }a = \bigvee_{a \in X}a \vee \bigvee_{a \in Y}a$ et de cette propriété on tire que $\bigvee_{}$
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