cours/Mathématiques pour non spécialistes – suite look-and-say.md

center, transition, theme

center	transition	theme
true	slide	white

Définition

!désintégration audioactive#^definition

---

Exemples

--

Exemple 1

• 1 \longrightarrow \text{un } 1
• 11 \longrightarrow \text{deux }1
• 21 \longrightarrow \text{un }2,\quad \text{un }1
• 1211 \longrightarrow \text{un }1,\quad \text{un }2,\quad \text{deux }2
• \underparen{111\!}\,221 \longrightarrow \text{trois }1,\quad \text{deux }2,\quad \text{un} 1
• 312211
• 13112221
• 1113213211

--

Exemple 2

22 \longrightarrow \text{deux} 2

22

22

\vdots

---

Notations

• 12 \longrightarrow 1112
• ,11,12,
• [11 et 12]
• 1^{3}2^{1}
  • 1^{\geq 2}(\neq 1)^{3}
  • [1^{3}X^{1 \text{ ou } 2}

---

Propriétés

--

Première propriété évidente

Pour une étape : a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots

Il est évident que : a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots

--

Théorème du jour 1

Les morceaux de type :

• ,ax,bx, devrait être dérivé en (a+b)x
• x^{\geq 4} =\begin{cases}x,xx,x\cdots \\ ,xx,xx, \cdots\end{cases} impossible
• x^{3}y^{3} =\begin{cases},xx,xy,yy, \text{ un cas de } ,ay,by, \\ x,xx,xy,y \text{ un cas de } ,ax,bx,\end{cases}

n'apparaîssent plus après 1 jour.

--

Théorème du jour 2

Après 2 jours, on ne peut plus avoir :

• apparition d'un \geq 4 car x^4 impossible (thm. J1)
• 3X3 =\begin{cases},3X,3y \longleftarrow X^3y^3 {\,\color{red}\Large \times } \text{ (thm. J1)} \\ 3,X3, {\,\color{red}\Large \times } \text{ (thm. J1)}\end{cases}

---

Théorème du début

Le début arrivera toujours sur l'un de ces cycles :

• \overparen{[ \;\; ]} \longrightarrow [\;\;] \longrightarrow [\;\;] \longrightarrow \cdots
• \overparen{[2^{2}]} \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow
• \overparen{[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots
• \overparen{[2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow [2^{2}1^{3} \longrightarrow [2^{2}3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots

--

Théorème du début — Exemple

• [37]
• [1317]
• [11131117]
• [{\color{#080}311}331 = [3^{1}1^{2} = \color{#080}[3^{1}X^{\neq 3} pour X=3
• [{\color{#09b}13}2123 = [1^{1}3^{1} = \color{#09b}[1^{1}X^{1}
• [{\color{#d80}111}312 = \color{#d80}[1^{3}
• [{\color{#080}311}311 = [3^{1}1^{2} = \color{#080}[3^{1}X^{\neq 3}
• [{\color{#09b}13}21 = [1^{1}3^{1} = \color{#09b}[1^{1}X^{1}
• [{\color{#d80}111}312 = \color{#d80}[1^{3}
• \vdots

--

Théorème du début — Démonstration

1. Montrer que toutes les chaînes des jours \geq 2 ont une certaine forme (lister les cas)
   • équivalent pour R ne commençant pas par 22 et pour R = [22\cdot R'
2. Vérifier que ces cas arrivent tous à l'un des cycles

!

--

Théorème du début — Démonstration

3. Simplifier les cas (en assimiler certains) ! La version de Conway :

!

---

Théorème du découpage

[!definition] Découpage Quand les descendants de L et R n'interfèrent jamais dans LR, c'est-à-dire : \forall n,\quad (LR)_{n} = L_{n}R_{n}

On dit que LR se découpe en L \cdot R

--

Théorème du découpage

[!definition] Découpage trivial [\;\;]\cdot R ou L \cdot [\;\;]

[!definition] Atome

• atome : morceau sans découpage non trivial

--

Théorème du découpage

Une chaîne de \geq 2 jour LR se découpe en L \cdot R seulement si l'un et vide ou dans un de ces cas :

L	R
n]	[m
$2]$	[1^1X^1 ou [1^{3} ou [3^{1}X^{\neq 3} ou [n^{1}
$\neq 2]$	[2^{2} 1^{1}X^{1} ou [2^{2}1^{3} ou [2^{2}3^{1}X\neq 3 ou [2^{2}n^{(0 \text{ ou } 1)}

avec n \geq 4 et m \leq 3

--

Théorème du découpage

Suit directement :

• du théorème du début pour R
• du fait que la fin de L est constante

---

Théorème de la fin

!

--

Théorème de la fin

Démonstration par disjonction des cas entre :

• les chaînes qui terminent par 1
  • \tiny 1^{\geq 3}] \longrightarrow (\neq 2)^{X}1^{1}] \longrightarrow (\neq 2)^{X}1^{2}] \longrightarrow 2^{X \neq 2}1^{1}] \longrightarrow 2^{X \neq 2}1^{2}] \longrightarrow 2^{2}1^{1}] \longrightarrow 2^{2}1^{2}] \longrightarrow 2^{3}1^{1}]
• les chaînes qui terminent par n > 1
  • !

--

Théorème de la fin

!

---

Théorème chimique

Les 92 éléments

!attachments/Capture d’écran 2026-03-30 à 02.54.50.png !attachments/Capture d’écran 2026-03-30 à 02.57.24.png

--

Théorème chimique

1. Les descendants d'un élément sont composés d'éléments
2. Tous ces éléments engendrent (après assez de jours) une chaîne contenant les 92 éléments simultanément
3. Les descendants te toute chaîne autre que [\;\;] et [22] engendrent (après assez de jours) une chaîne contenant les 92 éléments simultanément

---

Théorème cosmologique

Toute chaîne finit par se "désintégrer" en un composé d'éléme