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# Définition


![[désintégration audioactive#^definition]]



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# Exemples

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## Exemple 1

 + $1 \longrightarrow \text{un } 1$
 + $11 \longrightarrow \text{deux }1$ 
 + $21 \longrightarrow \text{un }2,\quad \text{un }1$ 
 + $1211 \longrightarrow \text{un }1,\quad \text{un }2,\quad \text{deux }2$
 + $\underparen{111\!}\,221 \longrightarrow \text{trois }1,\quad \text{deux }2,\quad \text{un} 1$
 + $312211$
 + $13112221$
 + $1113213211$

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## Exemple 2

$22 \longrightarrow \text{deux} 2$ <!-- element class="fragment" -->

$22$ <!-- element class="fragment" -->

$22$ <!-- element class="fragment" -->

$\vdots$ <!-- element class="fragment" -->


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# Notations

 + $12 \longrightarrow 1112$
 + $,11,12,$ 
 + $[11$ et $12]$
 + $1^{3}2^{1}$
     + $1^{\geq 2}(\neq 1)^{3}$
     + $[1^{3}X^{1 \text{ ou } 2}$

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# Propriétés

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## Première propriété évidente

Pour une étape : $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$

Il est évident que : $a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots$

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## Théorème du jour 1

Les morceaux de type :
 + $,ax,bx,$ <span class="fragment"> devrait être dérivé en $(a+b)x$ </span>
 + $x^{\geq 4}$ <span class="fragment"> $=\begin{cases}x,xx,x\cdots \\ ,xx,xx, \cdots\end{cases}$  impossible  </span>
 + $x^{3}y^{3}$ <span class="fragment"> $=\begin{cases},xx,xy,yy,  \text{ un cas de } ,ay,by, \\ x,xx,xy,y \text{ un cas de } ,ax,bx,\end{cases}$ </span>

n'apparaîssent plus après 1 jour.

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## Théorème du jour 2

Après 2 jours, on ne peut plus avoir :
 + apparition d'un $\geq 4$ <span class="fragment">car $x^4$ impossible (thm. J1)</span>
 + $3X3$ <span class="fragment"> $=\begin{cases},3X,3y \longleftarrow X^3y^3 {\,\color{red}\Large \times } \text{ (thm. J1)} \\ 3,X3, {\,\color{red}\Large \times } \text{ (thm. J1)}\end{cases}$ </span>

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## Théorème du début

Le début arrivera toujours sur l'un de ces cycles :
 + $\overparen{[ \;\; ]} \longrightarrow [\;\;] \longrightarrow [\;\;] \longrightarrow \cdots$
 + $\overparen{[2^{2}]} \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow$
 + $\overparen{[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
 + $\overparen{[2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow [2^{2}1^{3} \longrightarrow [2^{2}3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$

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### Théorème du début — Exemple

 + $[37]$
 + $[1317]$
 + $[11131117]$
 + $[{\color{#080}311}331 = [3^{1}1^{2} = \color{#080}[3^{1}X^{\neq 3}$ pour $X=3$
 + $[{\color{#09b}13}2123 = [1^{1}3^{1} = \color{#09b}[1^{1}X^{1}$ 
 + $[{\color{#d80}111}312 = \color{#d80}[1^{3}$
 + $[{\color{#080}311}311 = [3^{1}1^{2} = \color{#080}[3^{1}X^{\neq 3}$
 + $[{\color{#09b}13}21 = [1^{1}3^{1} = \color{#09b}[1^{1}X^{1}$
 + $[{\color{#d80}111}312 = \color{#d80}[1^{3}$
 + $\vdots$

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### Théorème du début — Démonstration

1) Montrer que toutes les chaînes des jours $\geq 2$ ont une certaine forme (lister les cas)
    + équivalent pour $R$ ne commençant pas par $22$ et pour $R = [22\cdot R'$
2) Vérifier que ces cas arrivent tous à l'un des cycles


![[attachments/Pasted image 20260330014744.png]]<!-- element class="fragment" -->



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### Théorème du début — Démonstration

3) Simplifier les cas (en assimiler certains)
![[attachments/Pasted image 20260330021624.png]] <!-- element class="fragment" -->
La version de Conway : <!-- element class="fragment" -->

![[attachments/Capture d’écran 2026-03-29 à 22.50.04.png]] <!-- element class="fragment" -->


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## Théorème du découpage

> [!definition] Découpage
> Quand les descendants de $L$ et $R$ n'interfèrent jamais dans $LR$, c'est-à-dire :
> $\forall n,\quad (LR)_{n} = L_{n}R_{n}$
> 
> On dit que $LR$ se **découpe** en $L \cdot R$


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## Théorème du découpage


> [!definition] Découpage trivial
>  $[\;\;]\cdot R$ ou $L \cdot [\;\;]$

> [!definition] Atome
>  - **atome** : morceau sans découpage non trivial

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## Théorème du découpage

Une chaîne de $\geq 2$ jour $LR$ se découpe en $L \cdot R$ seulement si l'un et vide ou dans un de ces cas :

| L             | R                                                                                             |
| ------------- | --------------------------------------------------------------------------------------------- |
| $n]$          | $[m$                                                                                          |
| $2]$<br>      | $[1^1X^1$ ou $[1^{3}$ ou $[3^{1}X^{\neq 3}$ ou $[n^{1}$                                       |
| $\neq 2]$<br> | $[2^{2} 1^{1}X^{1}$ ou $[2^{2}1^{3}$ ou $[2^{2}3^{1}X\neq 3$ ou $[2^{2}n^{(0 \text{ ou } 1)}$ | 

avec $n \geq 4$ et $m \leq 3$ 

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## Théorème du découpage

Suit directement :
 - du théorème du début pour R
 - du fait que la fin de $L$ est constante

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## Théorème de la fin

![[attachments/Capture d’écran 2026-03-30 à 02.46.57.png]]

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## Théorème de la fin

Démonstration par disjonction des cas entre :
 + les chaînes qui terminent par 1
     + $\tiny 1^{\geq 3}] \longrightarrow (\neq 2)^{X}1^{1}] \longrightarrow (\neq 2)^{X}1^{2}] \longrightarrow 2^{X \neq 2}1^{1}] \longrightarrow 2^{X \neq 2}1^{2}] \longrightarrow 2^{2}1^{1}] \longrightarrow 2^{2}1^{2}] \longrightarrow 2^{3}1^{1}]$
 + les chaînes qui terminent par $n > 1$
     + ![[attachments/Capture d’écran 2026-03-30 à 02.50.33.png]]

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## Théorème de la fin

![[attachments/Capture d’écran 2026-03-30 à 02.52.37.png]]

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## Théorème chimique
### Les 92 éléments <!-- element class="fragment" -->

<split even gap="3" class="fragment">
![[attachments/Capture d’écran 2026-03-30 à 02.54.50.png|300]]
![[attachments/Capture d’écran 2026-03-30 à 02.57.24.png|300]]
</split>


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## Théorème chimique

1) Les descendants d'un élément sont composés d'éléments
2) Tous ces éléments engendrent (après assez de jours) une chaîne contenant les 92 éléments simultanément
3) Les descendants te toute chaîne autre que $[\;\;]$ et $[22]$ engendrent (après assez de jours) une chaîne contenant les 92 éléments simultanément

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## Théorème cosmologique

Toute chaîne finit par se "désintégrer" en un composé d'éléme