oskar
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alias:
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- rotation
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up:
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- "[[rotation]]"
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- "[[matrice orthogonale]]"
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sibling: "[[matrice de symétrie]]"
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tags:
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- "#s/maths/algèbre"
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- I [[matrice orthogonale]] de [[déterminant d'une matrice|déterminant]] 1
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- en 2D : $\begin{pmatrix}a&b\\ b&-a\end{pmatrix}$ avec $a^{2}+b^{2}=1$
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> [!definition] Matrice de rotation
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> Une **matrice de rotation** est une [[matrice orthogonale]] de [[déterminant d'une matrice|déterminant]] $1$
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> > [!idea]- Intuition
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> > Il semble logique que déplacer une [[base d'un espace vectoriel|base]] en conservant les [[norme]] et les [[produit scalaire|produits scalaires]] soit une [[matrice de rotation|rotation]] ou une [[matrice symétrique|symétrie]] (c'est démontrable).
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> > Le déterminant de $1$ sert à ne prendre que les rotations.
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^definition
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> [!definition] Matrice de rotation
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> Soit $\mathbf{K}$ un corps
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> Soit $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbf{K})$ une matrice
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> $M$ est une matrice de rotation ssi l'[[matrice associée à une application linéaire|application linéaire asociée]] à $M$, $f: u \mapsto Mu$ correspond à une [[rotation]] vectorielle.
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# Propriétés
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- $S \text{ est une rotation } \iff \det S = 1$
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# Types de matrices de rotation
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## En dimension 2
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> [!definition] Matrice de rotation en 2D
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> La [[rotation]] d'angle $\theta$ correspond à la matrice :
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> $\large\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$
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> ![[matrice de symétrie 2022-11-09 18.14.44.excalidraw|900]]
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