MacBook-Pro-de-Oscar.local 2026-6-13:17:14:51

2026-06-13 17:14:52 +02:00
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commit e23a1dead0
36 changed files with 293 additions and 174 deletions
@@ -1069,5 +1069,14 @@
      ],
      "key": "L"
    }
-  ]
+  ],
+  "breadcrumbs:rebuild-graph": [
+    {
+      "modifiers": [
+        "Mod"
+      ],
+      "key": "R"
+    }
+  ],
+  "wikilinks-to-mdlinks-obsidian:toggle-wiki-md-links": []
 }
@@ -286,7 +286,7 @@
          "prevs"
        ],
        "lock_view": false,
-        "lock_path": "filtre.md",
+        "lock_path": "trace d'une matrice.md",
        "custom_sort_fields": false,
        "custom_sort_field_labels": []
      },
@@ -1,7 +1,8 @@
-next:: [[next of addition de matrices]]
-up::[[matrice]]
-#s/maths/algèbre
-
+---
+up:
+  - "[[opérations sur les matrices]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---

 On additionne les matrices élément par élément (les deux matrices additionnées doivent donc avoir la même taille).
@@ -1,5 +1,9 @@
-up::[[matrice]]
-#s/maths/algèbre 
+---
+up:
+  - "[[matrices particulières]]"
+  - "[[opérations sur les matrices]]"
+tags: "#s/maths/algèbre"
+---

 > [!definition] [[comatrice]]
 > Soit $A$ une matrice de taille $n$
@@ -1,11 +1,13 @@
 ---
-alias: [ "décomposition en matrice symétrique et antisymétrique" ]
+alias:
+  - décomposition en matrice symétrique et antisymétrique
+up:
+  - "[[opérations sur les matrices]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---
-up:: [[matrice]]
-title:: "toute matrice carrée se décompose en $S+A$, avec $\,^TS=S$ et $\,^TA=-A$"
-#s/maths/algèbre 

---
+- I toute matrice carrée se décompose en $S+A$, avec $\,^TS=S$ et $\,^TA=-A$

 > [!definition] Décomposition d'une matrice en somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique
 > Soit $M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ une matrice carrée
@@ -2,17 +2,17 @@
 sr-due: 2022-09-21
 sr-interval: 29
 sr-ease: 291
-alias: [ "déterminant" ]
+alias:
+  - déterminant
+up:
+  - "[[opérations sur les matrices]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---

-up::[[matrice]]
-#s/maths/algèbre 
-
---
 Soit $A$ une [[matrice]].
 On note $\det(A)$ le _déterminant_ d'une matrice.

-
 # Définition

 ## Matrices de taille 2
@@ -47,8 +47,8 @@ Cette méthode se base sur une formule de récurrence :
     - On note $A'_{i,j}$ la matrice obtenue en enlevant la ligne $i$ et la colonne $j$ de la matrice $A$
     - On note $c_{i,j} = (-1)^{i+j}\times\det(A_{i,j})$
     - On a alors :
-         - Développement par colonnes :  $\disp\det(A) = \sum_{j=1}^n \left(c_{i,j}\times A'_{i,j}\right)$ 
-         - Développement par lignes : $\disp\det(A) = \sum_{i=1}^n \left( c_{i,j}\times A'_{i,j} \right)$
+         - Développement par colonnes :  $\displaystyle\det(A) = \sum_{j=1}^n \left(c_{i,j}\times A'_{i,j}\right)$ 
+         - Développement par lignes : $\displaystyle\det(A) = \sum_{i=1}^n \left( c_{i,j}\times A'_{i,j} \right)$


 ### Définition en APL
@@ -1,11 +1,13 @@
 ---
-alias: [ "forme bilinéaire associée à une matrice", "forme bilinéaire associée" ]
---
-up:: [[forme bilinéaire]], [[matrice]]
-sibling:: [[matrice d'une forme bilinéaire]]
-title:: $f(X, Y) = \,^TX \times M \times Y$
-#s/maths/algèbre 
-
+alias:
+  - forme bilinéaire associée à une matrice
+  - forme bilinéaire associée
+up:
+  - "[[forme bilinéaire]]"
+  - "[[objets associés à une matrice]]"
+sibling: "[[matrice d'une forme bilinéaire]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---

 > [!definition] forme bilinéaire d'une matrice
@@ -14,7 +16,6 @@ title:: $f(X, Y) = \,^TX \times M \times Y$
 > $\boxed{f(X, Y) = \,^TX \times M \times Y}$
 ^definition

-
 # Explication
 $f((x_1, x_2, \dots,x_{n}), (y_1,y_2,\dots,y_{n})) = \begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_{n}\\\end{pmatrix} \times M \times \begin{pmatrix}y_1\\ y_2 \\ \vdots \\ y_{n}\end{pmatrix}$

@@ -1,12 +1,14 @@
 ---
-alias: "inverse"
+alias: inverse
+up:
+  - "[[opérations sur les matrices]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---
-up::[[matrice]]
-title::"$M^{-1}$ telle que $M^{-1}\times M=  M \times M^{-1} = \mathrm{Id}$"
-#s/maths/algèbre 

----
-Soit $M$ une [[matrice]]. On note $M^{-1}$ la matrice _inverse_ de $M$, si elle existe, la matrice telle que $M\times M^{-1} = M^{-1}\times M = Id$ la [[matrice identité]]
+> [!definition] [[inverse d'une matrice]]
+> Soit $M$ une [[matrice]]. On note $M^{-1}$ la matrice _inverse_ de $M$, si elle existe, la matrice telle que $M\times M^{-1} = M^{-1}\times M = Id$ la [[matrice identité]]
+^definition

 # Matrice inversible
 Soit $A$ une matrice, elle est dite _inversible_ si $\exists B, AB=BA=Id$
@@ -1,7 +1,9 @@
-up:: [[matrice]], [[endomorphisme adjoint]]
-title:: "sur $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C})$: [[matrice transconjuguée]]", "matrices carrées : [[endomorphisme adjoint]]" 
-#s/maths/algèbre 
-
+---
+up:
+  - "[[endomorphisme adjoint]]"
+  - "[[opérations sur les matrices]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---

 > [!definition] matrice adjointe
@@ -1,18 +1,23 @@
 ---
-alias: [ "antisymétrique" ]
+alias:
+  - antisymétrique
+up:
+  - "[[matrices particulières]]"
+sibling: "[[matrice symétrique]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---
-up::[[matrice]]
-sibling:: [[matrice symétrique]]
-title::"$M^{T} = -M$ ([[transposée]])"
-#s/maths/algèbre 

----
-Soit $M\in M_{n,n}(\mathbb{R})$ une [[matrice]], $M$ est _antisymétrique_ ssi :
-$M^{T}=-M$ (Sa transposée est son opposé).
+- I $M^{T} = -M$ ([[transposée]])

-Cela veut dire que :
- - Sa diagonale est nulle
- - $\forall (i,j)\in[\![0;n]\!]^2, M_{i,j} = -M_{j,i}$
+> [!definition] [[matrice antisymétrique]]
+> Soit $M\in M_{n,n}(\mathbb{R})$ une [[matrice]], $M$ est _antisymétrique_ ssi :
+> $M^{T}=-M$ (Sa transposée est son opposé).
+> 
+> Cela veut dire que :
+>  - Sa diagonale est nulle
+>  - $\forall (i,j)\in[\![0;n]\!]^2, M_{i,j} = -M_{j,i}$
+^definition

 # Exemple
 $$M = \begin{pmatrix}0&-2&4\\ 2&0&7\\ -4&-7&0 \end{pmatrix}$$
@@ -1,10 +1,16 @@
 ---
-alias: [ "application linéaire associée à une matrice", "matrice associée", "application linéaire associée", "matrice d'un application linéaire" ]
+alias:
+  - application linéaire associée à une matrice
+  - matrice associée
+  - application linéaire associée
+  - matrice d'un application linéaire
+up:
+  - "[[application linéaire]]"
+  - "[[objets associés à une matrice]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---
-up::[[application linéaire]], [[matrice]]
-#s/maths/algèbre 

----
 Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel|espaces vectoriels]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie, de [[base d'un espace vectoriel|base]] respective $\mathcal B = \{e_1,\ldots,e_n\}$ et $\mathcal C = \{f_1,\ldots,f_n\}$,
 Soit $f$ une [[application linéaire]] de $E$ dans $F$.
 Soit $x\in E$,
@@ -1,7 +1,8 @@
-up:: [[matrice]]
-title:: $\overline{M}_{i,j} = \overline{(M_{i,j})}$
-#s/maths/algèbre 
-
+---
+up:
+  - "[[opérations sur les matrices]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---

 > [!definition] matrice conjuguée
@@ -1,7 +1,9 @@
-up::[[matrice]]
-#s/maths/algèbre 
-
----
+---
+up:
+  - "[[objets associés à une matrice]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
+---

 # matrice d'un vecteur dans une base
 Soit $E$ un [[espace vectoriel]] réel de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] $n$,
@@ -9,10 +11,10 @@ Soit $\scr B = \{e_1,\ldots,e_n\}$ une [[base d'un espace vectoriel|base]] de $E
 Un vecteur $x$ de $E$ se décompose de façon unique sous la forme $x = x_1e_1+\cdots+x_ne_n$ avec $(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$

 $\mathrm{Mat}_{\scr B}(x) = [x]_{\scr B} = \begin{pmatrix} x_1\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}$  
+
 # Propriétés
 L'[[application]] $x\mapsto [x]_{\scr B}$ est [[application linéaire|linéaire]] de $E$ dans $\mathbb{R}^n$.

-
 # Exemple
 Les vecteurs $u_1 = \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$, $u_2 = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}$, $u_3 = \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}$ forment une [[base d'un espace vectoriel|base]] de $\mathbb{R}^3$
 Le vecteur $v = \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$ se décompose sous la forme $xu_1+yu_2+zu_3$, soit :
@@ -1,11 +1,15 @@
 ---
-alias: [ "matrice associée à une forme bilinéaire", "matrice associée" ]
+alias:
+  - matrice associée à une forme bilinéaire
+  - matrice associée
+up:
+  - "[[forme bilinéaire|forme bilinéaire]]"
+  - "[[objets associés à une matrice]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---
-up:: [[forme bilinéaire|forme bilinéaire]], [[matrice]]
-title:: "$M_{i,j} = f(e_{i}, e_{j})$"
-#s/maths/algèbre 

---
+- I $M_{i,j} = f(e_{i}, e_{j})$

 > [!definition] matrice d'une forme bilinéaire
 > Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] $n$ muni d'une base $\mathcal{B} = (e_1, e_2, \dots, e_{n})$
@@ -1,11 +1,15 @@
 ---
-alias: [ "matrice associée à une forme quadratique", "matrice associée" ]
+alias:
+  - matrice associée à une forme quadratique
+  - matrice associée
+up:
+  - "[[forme quadratique]]"
+  - "[[objets associés à une matrice]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---
-up:: [[forme quadratique]], [[matrice]]
-title:: "matrice $M$ [[matrice symétrique|symétrique]] telle que $\varphi(x) = \,^T\!xMx$"
-#s/maths/algèbre 

---
+- I matrice $M$ [[matrice symétrique|symétrique]] telle que $\varphi(x) = \,^T\!xMx$

 > [!definition] matrice d'une forme quadratique
 > Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] $n$
@@ -1,12 +1,16 @@
 ---
-alias: [ "rotation" ]
+alias:
+  - rotation
+up:
+  - "[[rotation]]"
+  - "[[matrice orthogonale]]"
+sibling: "[[matrice de symétrie]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---
-up::[[matrice]], [[rotation]], [[matrice orthogonale]]
-sibling:: [[matrice de symétrie]]
-title::"[[matrice orthogonale]] de [[déterminant d'une matrice|déterminant]] 1", "$\begin{pmatrix}a&b\\ b&-a\end{pmatrix}$ avec $a^{2}+b^{2}=1$ en 2D"
-#s/maths/algèbre 

---
+- I [[matrice orthogonale]] de [[déterminant d'une matrice|déterminant]] 1
+    - en 2D : $\begin{pmatrix}a&b\\ b&-a\end{pmatrix}$ avec $a^{2}+b^{2}=1$

 > [!definition] Matrice de rotation
 > Une **matrice de rotation** est une [[matrice orthogonale]] de [[déterminant d'une matrice|déterminant]] $1$
@@ -1,8 +1,10 @@
-up::[[matrice]], [[symétrie vectorielle orthogonale]]
-sibling:: [[matrice de rotation]]
-title::
-#s/maths/algèbre 
-
+---
+up:
+  - "[[symétrie vectorielle orthogonale]]"
+  - "[[matrices particulières]]"
+sibling: "[[matrice de rotation]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---

 > [!definition] Matrice de rotation
@@ -1,16 +1,17 @@
-up::[[matrice]]
-title::"telle que $i\neq j \implies M_{i,j} = 0$"
-description::"seuls les éléments de sa diagonale sont non-nuls"
-#s/maths/algèbre 
-
----
-Une *matrice diagonale* est une [[matrice]] particulière telle que seuls les éléments de sa diagonale sont non nuls.
+---
+up:
+  - "[[matrices particulières]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
+---

 > [!definition] 
 > Soit $M \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbf{K})$ une matrice de taille $m\times n$.
 > $M$ est une _matrice diagonale_ si $\forall (i,j)\in [\![0,m]\!]\times[\![0,n]\!], i\neq j \implies M_{ij} = 0$
 ^definition

+- I Une *matrice diagonale* est une [[matrice]] telle que seuls les éléments de sa diagonale sont non nuls.
+
 # Propriétés
 Soit $D$ une matrice diagonale

@@ -1,19 +1,21 @@
-up::[[matrice]]
-title::"$\mathrm{Id}_{i,j} = \delta _{i,j} = [i=j]$"
-#s/maths/algèbre
+---
+up:
+  - "[[matrices particulières]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
+---

----
+> [!definition] [[matrice identité]]
 La matrice identité de taille $n$ est la [[matrice]] $Id_n$ telle que :
-
-$$\forall (i,j)\in[\![1;n]\!]^2, 
-Id_{n_{i,j}} = 
-\left\{\begin{gathered}
-1 \text{ si } i = j\\
-0 \text{ sinon}
-\end{gathered}
-\right.$$
-Autre définition : $\forall(i,j)\in[\![1;n]\!], Id_{n_{i,j}} = \delta_{i,j}$ où $\delta$ est le [[symbole de kronecker]].
-
+> $$\forall (i,j)\in[\![1;n]\!]^2, 
+> Id_{n_{i,j}} = 
+> \left\{\begin{gathered}
+> 1 \text{ si } i = j\\
+> 0 \text{ sinon}
+> \end{gathered}
+> \right.$$
+> Autre définition : $\forall(i,j)\in[\![1;n]\!], Id_{n_{i,j}} = \delta_{i,j}$ où $\delta$ est le [[symbole de kronecker]].
+^definition

 # Propriétés
 - $Id$ est l'élément neutre des matrices pour la [[multiplication de matrices]] : $Id\times M = M\times Id = M$
@@ -1,11 +1,13 @@
 ---
-alias: [ "orthogonale" ]
+alias:
+  - orthogonale
+up:
+  - "[[matrices particulières]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---
-up:: [[matrice]]
-title:: "$\,^T\!M M = Id$"
-#s/maths/algèbre 

---
+- I $\,^T\!M M = Id$

 > [!definition] Matrice orthogonale
 > Soit $\mathbf{K}$ un corps
@@ -1,7 +1,9 @@
-up:: [[matrice]]
-title:: "coefficients dans $[0, 1]$", "somme des lignes vaut 1"
-#s/maths/algèbre #s/maths/probabilités
-
+---
+up:
+  - "[[matrices particulières]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
+  - "#s/maths/probabilités"
 ---

 > [!definition] Matrice stochastique
@@ -1,20 +1,20 @@
 ---
-alias: [ "symétrique" ]
+alias:
+  - symétrique
+up:
+  - "[[matrices particulières]]"
+sibling: "[[matrice antisymétrique]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---
-up::[[matrice]]
-sibling:: [[matrice antisymétrique]]
-title::"telle que $M = M^{T}$ ([[transposée]])"
-#s/maths/algèbre 
-
----

 > [!definition] 
 > Soit $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbf{K})$ une [[matrice]],
 > $M$ est une _matrice symétrique_ ssi :
-> $M = \,^TM$
+> $\boxed{M = \,^TM}$
 > c'est-à-dire si elle est égale à sa [[transposée]].
 > 
-> - [I]  Visuellement, cela veut dire que la matrice est symétrique par rapport à sa diagonale.
+> - I  Visuellement, cela veut dire que la matrice est symétrique par rapport à sa diagonale.
 ^definition

 # Exemple
@@ -1,9 +1,11 @@
-up:: [[matrice]]
-title:: "[[transposée]] du [[conjugé complexe]] de chaque valeur"
-#s/maths/algèbre 
-
+---
+up:
+  - "[[opérations sur les matrices]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---

+- I [[transposée]] du [[conjugé complexe]] de chaque valeur
 > [!definition] matrice transconjuguée
 > Soit $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ une matrice
 > On note $\,^T\overline{M}$ la **transconjuguée** de $M$, la [[transposée]] de la [[matrice conjuguée]] de $M$.
@@ -1,9 +1,12 @@
 ---
 aliases:
  - matrice modulaire
+up:
+  - "[[groupe des classes modulo n]]"
+  - "[[matrices particulières]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---
-up:: [[matrice]], [[groupe des classes modulo n]]
-#s/maths/algèbre 

 > [!definition] [[matrices modulaires]]
 > Soient $m, n \in \mathbb{N}_{\geq 2}$ 
@@ -0,0 +1,16 @@
+---
+up:
+  - "[[matrice]]"
+tags:
+  - s/maths/algèbre
+aliases:
+---
+
+```breadcrumbs
+title: "Sous-notes"
+type: tree
+collapse: true
+show-attributes: [field]
+field-groups: [downs]
+depth: [0, 0]
+```
@@ -1,5 +1,6 @@
 ---
-up: "[[matrice]]"
+up:
+  - "[[opérations sur les matrices]]"
 tags:
  - "#s/maths/algèbre"
 aliases:
@@ -0,0 +1,16 @@
+---
+up:
+  - "[[matrice]]"
+tags:
+  - s/maths/algèbre
+aliases:
+---
+
+```breadcrumbs
+title: "Sous-notes"
+type: tree
+collapse: true
+show-attributes: [field]
+field-groups: [downs]
+depth: [0, 0]
+```
@@ -0,0 +1,7 @@
+---
+up:
+  - "[[matrice]]"
+tags:
+  - s/maths/algèbre
+aliases:
+---
@@ -1,6 +1,6 @@
 up:: [[matrice d'une forme bilinéaire]]
 sibling:: [[partie symétrique d'une forme bilinéaire]]
-title:: "[[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie antisymétrique d'une matrice|partie antisymétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$"
+title:: "[[forme bilinéaire associée à une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie antisymétrique d'une matrice|partie antisymétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$"
 #s/maths/algèbre 

 ---
@@ -8,10 +8,10 @@ title:: "[[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [
 > [!definition] partie antisymétrique d'une forme bilinéaire
 > Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
 > Soit $f: E^{2} \to \mathbf{K}$ une [[forme bilinéaire]] de $E$
-> On appelle **partie antisymétrique de $f$** la [[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie antisymétrique d'une matrice|partie antisymétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$
+> On appelle **partie antisymétrique de $f$** la [[forme bilinéaire associée à une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie antisymétrique d'une matrice|partie antisymétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$
 > 
 > Soit $M$ la matrice de $f$.
 > La [[partie antisymétrique d'une matrice|partie antisymétrique]] de $M$ est $\frac{1}{2}(M - \,^TM)$
-> Donc, la partie antisymétrique de $f$ est la [[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à $\frac{1}{2}(M - \,^TM)$
+> Donc, la partie antisymétrique de $f$ est la [[forme bilinéaire associée à une matrice|forme bilinéaire associée]] à $\frac{1}{2}(M - \,^TM)$
 ^definition

@@ -1,6 +1,6 @@
 up:: [[matrice d'une forme bilinéaire]]
 sibling:: [[partie symétrique d'une forme bilinéaire]]
-title:: "[[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie symétrique d'une matrice|partie symétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$"
+title:: "[[forme bilinéaire associée à une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie symétrique d'une matrice|partie symétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$"
 #s/maths/algèbre 

 ---
@@ -8,10 +8,10 @@ title:: "[[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [
 > [!definition] partie symétrique d'une forme bilinéaire
 > Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
 > Soit $f: E^{2} \to \mathbf{K}$ une [[forme bilinéaire]] de $E$
-> On appelle **partie symétrique de $f$** la [[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie symétrique d'une matrice|partie symétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$
+> On appelle **partie symétrique de $f$** la [[forme bilinéaire associée à une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie symétrique d'une matrice|partie symétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$
 > 
 > Soit $M$ la matrice de $f$.
 > La [[partie symétrique d'une matrice|partie symétrique]] de $M$ est $\frac{1}{2}(M + \,^TM)$
-> Donc, la partie symétrique de $f$ est la [[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à $\frac{1}{2}(M+\,^TM)$
+> Donc, la partie symétrique de $f$ est la [[forme bilinéaire associée à une matrice|forme bilinéaire associée]] à $\frac{1}{2}(M+\,^TM)$
 ^definition

@@ -1,23 +1,27 @@
 ---
-alias: [ "matrice polynôme caractéristique" ]
+alias:
+  - matrice polynôme caractéristique
+up:
+  - "[[endomorphisme linéaire]]"
+  - "[[objets associés à une matrice]]"
+sibling: "[[polynôme caractéristique d'un endomorphisme linéaire]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---
-up:: [[matrice]], [[endomorphisme linéaire]]
-sibling:: [[polynôme caractéristique d'un endomorphisme linéaire]]
-title:: "$\det(M - \lambda \text{Id}_{n})$"
-#s/maths/algèbre 

---
+- I $\det(M - \lambda \cdot \operatorname{Id}_{n})$
+

 > [!definition] polynôme caractéristique
 > Soit $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbf{K})$ une [[matrice]] carrée
 > Le [[polynôme]] caractéristique de $M$ est :
-> $\det(M - \lambda  \text{Id}_{n})$
+> $\det(M - \lambda  \operatorname{ID}_{n})$
 > C'est un polynôme dont les [[racines d'un polynôme|racines]] sont les [[valeur propre d'une matrice|valeurs propres]] de $M$
 ^definition

 > [!definition] [[polynôme caractéristique d'une matrice]]
 > Soit $M$ une matrice carrée
-> $\det(X \mathrm{Id}_{n} - M)$ est le polynôme caractéristique de $M$
+> $\det(X \operatorname{Id}_{n} - M)$ est le polynôme caractéristique de $M$


 # Propriétés
@@ -1,5 +1,9 @@
-up:: [[matrice]]
-#s/maths/algèbre 
+---
+up:
+  - "[[opérations sur les matrices]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
+---

 > [!definition] [[produit de hadamard]]
 > Soient $A$ et $B$ des matrices de même dimension, le produit de hadamard $A \odot B$ est la produit terme-à-terme de $A$ et de $B$ :
@@ -1,12 +1,15 @@
 ---
-alias: "trace"
+alias: trace
+up:
+  - "[[objets associés à une matrice]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---
-up::[[matrice]]
-title::$\mathrm{Tr}(M) = \sum\limits_{k} M_{k,k}$
-#s/maths/algèbre

----
-La *trace* d'une [[matrice]] **carrée** est la somme de ses coefficients diagonaux.
+> [!definition] [[trace d'une matrice]]
+> La *trace* d'une [[matrice]] **carrée** est la somme de ses coefficients diagonaux.
+> $\operatorname{Tr}(M) = \sum\limits_{k} M_{k,k}$
+^definition


 # Notation
@@ -1,17 +1,20 @@
 ---
-alias: [ "transposée d'une matrice", "matrice transposée", "transposition" ]
+alias:
+  - transposée d'une matrice
+  - matrice transposée
+  - transposition
+up:
+  - "[[opérations sur les matrices]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---
-up::[[matrice]]
-title::"$M^{T}_{i,j}=M_{j,i}$"
-#s/maths/algèbre
-
----
-
-Soit $M$ une [[matrice|matrice]] de dimension $(m, n)$.
-La _transposée_ de $M$ est la matrice $M^T$ (ou $^TM$) telle que :
- - $M^T$ est de dimension $(n, m)$
- - $M^T_{i, j} = M_{j, i}$

+> [!definition] [[transposée]]
+> Soit $M$ une [[matrice|matrice]] de dimension $(m, n)$.
+> La _transposée_ de $M$ est la matrice $M^T$ (ou $^TM$) telle que :
+>  - $M^T$ est de dimension $(n, m)$
+>  - $\boxed{M^T_{i, j} = M_{j, i}}$
+^definition

 # Exemple
 Soit $M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&2\\5&7&144\\42&73&28\end{array}\right)$
@@ -1,12 +1,15 @@
 ---
-alias: [ "valeur propre", "valeurs propres" ]
+alias:
+  - valeur propre
+  - valeurs propres
+up:
+  - "[[objets associés à une matrice]]"
+sibling: "[[valeur propre d'une application linéaire]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---
-up:: [[matrice]]
-sibling:: [[valeur propre d'une application linéaire]] 
-title:: "$\lambda$ tel que $\exists u \neq \vec{0}, Mu = \lambda u$"
-#s/maths/algèbre 

---
+- I $\lambda$ tel que $\exists u \neq \vec{0}, Mu = \lambda u$

 > [!definition] Valeur propre d'une matrice
 > Soit $\mathbf{K}$ un [[corps]] 
@@ -1,10 +1,11 @@
-up:: [[matrice]]
-title:: "$u \neq \vec{0}$ tel que $\exists \lambda \in \mathbf{K}, Mu = \lambda u$"
-#s/maths/algèbre 
-
+---
+up:
+  - "[[objets associés à une matrice]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
 ---

-
+- I $u \neq \vec{0}$ tel que $\exists \lambda \in \mathbf{K}, Mu = \lambda u$

 > [!definition] Vecteur propre d'une matrice
 > Soit $\mathbf{K}$ un [[corps]]