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[!definition] topologie induite Soit (X, d) un espace métrique et soit A \subset X d distance induite une distance d_{A} sur A, c'est-à-dire que d_{A}(a, a') = d(a, a') Alors () ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Proposition Soit (X, d) un espace métrique Soit A \subset X Soit d_{A} la distance induite par d sur A. On a : U \subset A est une partie ouvert de (A, d_{A}) si et seulement si il existe un ouvert \tilde{U} de (X, d) tel que U = \tilde{U} \cap A

• ! \tilde{U} n'est pas unique en général

[!proposition]+ Proposition Soit (X, d) un espace métrique Soit A \subset X Soit d_{A} la distance induite par d sur A. On a : F \subset A est un fermé de (A, d_{A}) si et seulement si il existe un fermé \tilde{F} de (X, d) tel que F = \tilde{F} \cap A

• ! \tilde{F} n'est pas unique en général
• I On peut prendre \tilde{F} = \overline{F}^{X} l'adhérence de F vu comme une partie de X

Exemples