up:: [[structure de topologie]]
#s/maths/topologie 

> [!definition] [[topologie induite]]
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]] et soit $A \subset X$
> $d$ [[distance induite|induit]] une distance $d_{A}$ sur $A$, c'est-à-dire que $d_{A}(a, a') = d(a, a')$
> Alors ()
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Proposition
> Soit $(X, d)$ un espace métrique
> Soit $A \subset X$ 
> Soit $d_{A}$ la [[distance induite]] par $d$ sur $A$.
> On a :
> $U \subset A$ est une partie ouvert de $(A, d_{A})$ si et seulement si il existe un ouvert $\tilde{U}$ de $(X, d)$ tel que $U = \tilde{U} \cap A$
> - ! $\tilde{U}$ n'est pas unique en général

> [!proposition]+ Proposition
> Soit $(X, d)$ un espace métrique
> Soit $A \subset X$ 
> Soit $d_{A}$ la [[distance induite]] par $d$ sur $A$.
> On a :
> $F \subset A$ est un fermé de $(A, d_{A})$ si et seulement si il existe un fermé $\tilde{F}$ de $(X, d)$ tel que $F = \tilde{F} \cap A$
> - ! $\tilde{F}$ n'est pas unique en général
> - I On peut prendre $\tilde{F} = \overline{F}^{X}$ l'[[adhérence]] de $F$ vu comme une partie de $X$

# Exemples