cours/théorème de Łoś.md

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ultrafiltre	s/maths/logique s/maths/topologie

• i Łoś se prononce "Wosh"

[!proposition]+ Lemme du théorème de Łoś Soit \mathscr{F} un filtre non trivial sur un ensemble X Il y à équivalence entre ces 3 propositions :

1. \mathscr{F} est un ultrafiltre
2. si A, B\subseteq X vérifient A \cup B \in \mathscr{F} alors A \in \mathscr{F} et B \in \mathscr{F}
3. si A \subseteq X alors A \in \mathscr{F} ou (X \setminus A) \in \mathscr{F}

[!démonstration]- Démonstration $1 \implies 2$ Soit \mathscr{F} un ultrafiltre sur X on suppose A \cup B unn \mathscr{F} mais B \notin \mathscr{F} Démontrons A \in \mathscr{F} : Soit \mathscr{F}' l'ensemble des parties de X qui contiennent une partie de la forme A \cap F où F \in \mathscr{F} \mathscr{F}' est un filtre non trivial qui contient \mathscr{F} (admis) Alors : \mathscr{F}' = \mathscr{F} (\mathscr{F} est un ultrafiltre) F = A \cup B \in \mathscr{F} donc A \cap F \in \mathscr{F}' et donc A \cap F \in \mathscr{F}

[!proposition]+ théorème de Łoś On considère une famille (M_{i})_{i \in I} de structures pour une signature logique donnée Soit \mathcal{U} un ultrafiltre sur I Pour tout énoncé \varphi (autrement dit, pour toute formule \varphi(x_1, \dots, x_{n})) et pour tout \alpha^{\mathcal{U}} \in \prod\limits_{i \in I}{}^{\mathcal{U}} M_{i} on a équivalence entre les énoncés suivants : 4. l'ultraproduit \prod\limits_{i \in I}{}^{\mathcal{U}}M_{i} satisfait \varphi - i.e. : \prod\limits_{i \in I}{}^{\mathcal{U}} M_{i} \models \varphi 5. l'ensemble des i \in I tels que M_{i} satisfait \varphi (M_{i} \models \varphi) appartient à \mathcal{U} - \{ i \in I \mid M_{i} \models \varphi \} \subseteq \mathcal{U}