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alias: "algèbre"
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up::[[structure algébrique]]
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title::$\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] muni d'une 2$^{\text{ème}}$ [[loi de composition interne|loi]] qui forme un [[monoïde]]
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description::"$(A,+,\circ,\cdot)$ est une _algèbre_ ssi :", " - $(A,+,\cdot)$ est un [[espace vectoriel|ev]]", " - $(A, \circ)$ est un [[monoïde]]"
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#s/maths/algèbre
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Soit un ensemble $A$
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$(A, +, \circ, \cdot)$ est une _algèbre_ ssi :
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- $(A, +, \cdot)$ forme un [[espace vectoriel]]
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- $(A, +)$ forme un [[groupe abélien]]
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- $\cdot$ est une loi externe [[distributivité|distributive]] sur $+$
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- $(A, \circ)$ forme un [[monoïde]]
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> [!definition] $\mathbb{R}$-algèbre
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> Une $\mathbb{R}$-algèbre est un $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel]] $E$ muni d'une loi $\cdot : \mathbf{E} \times \mathbf{E} \to E$ telle que $\cdot$ [[forme bilinéaire|bilinéaire]] :
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> $\forall x, y, z \in E, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad (x+\lambda y)\cdot z = (x\cdot z) + \lambda (y\cdot z)$
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> $\forall x, y, z \in E, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad z\cdot(x+\lambda y) = (z\cdot x) + \lambda (z\cdot y)$
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^definition
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> [!example] Exemples
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> - $E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$ muni du produit classique de fonction $(f\cdot g)(t) = f(t)\cdot g(t)$ est une algèbre
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> - $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ munie du produit de matrices est une $\mathbb{R}$-algèbre
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> -
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^example
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