---
alias: "algèbre"
---
up::[[structure algébrique]]
title::$\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] muni d'une 2$^{\text{ème}}$ [[loi de composition interne|loi]] qui forme un [[monoïde]]
description::"$(A,+,\circ,\cdot)$ est une _algèbre_ ssi :", " - $(A,+,\cdot)$ est un [[espace vectoriel|ev]]", " - $(A, \circ)$ est un [[monoïde]]"
#s/maths/algèbre

----
Soit un ensemble $A$
$(A, +, \circ, \cdot)$ est une _algèbre_ ssi :
    - $(A, +, \cdot)$ forme un [[espace vectoriel]]
        - $(A, +)$ forme un [[groupe abélien]]
        - $\cdot$ est une loi externe [[distributivité|distributive]] sur $+$
    - $(A, \circ)$ forme un [[monoïde]]


> [!definition] $\mathbb{R}$-algèbre
> Une $\mathbb{R}$-algèbre est un $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel]] $E$ muni d'une loi $\cdot : \mathbf{E} \times \mathbf{E} \to E$ telle que $\cdot$ [[forme bilinéaire|bilinéaire]] :
> $\forall x, y, z \in E, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad (x+\lambda y)\cdot z = (x\cdot z) + \lambda (y\cdot z)$
> $\forall x, y, z \in E, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad z\cdot(x+\lambda y) = (z\cdot x) + \lambda (z\cdot y)$
^definition

> [!example] Exemples
> - $E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$ muni du produit classique de fonction $(f\cdot g)(t) = f(t)\cdot g(t)$ est une algèbre
> - $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ munie du produit de matrices est une $\mathbb{R}$-algèbre 
> - 
^example