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fonction de répartition fonction de répartition d'une variable aléatoire

up:: variable aléatoire title:: "$\begin{align} F:,& \mathbb{R} \to \mathbb{R}\ &x \mapsto P(X \leq x) \end{align}$" #s/maths/probabilités

[!definition] fonction de répartition Soit (\Omega, \mathscr{P}(\Omega), P) un espace probabilisé Soit X une variable aléatoire réelle sur \Omega La fonction de répartition de X est : \begin{align} F :\, & \mathbb{R} \to \mathbb{R}\ \\ & x \mapsto P(X ^{-1}(]-\infty, x[)) = \boxed{P(X \leq x)} \end{align} ^definition

Propriétés

• \forall (a, b) \in \mathbb{R}^{2}, \quad a \leq b, \quad P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)

[!proposition]+ Toute fonction de répartition est continue Soit X une variable aléatoire réelle de probabilité à densité f F_{X} est continue en tout point t \in \mathbb{R}

[!démonstration]- Démonstration Pour tout t \in \mathbb{R} F_{X} = \mathbb{P}_{X}(]-\infty, t]) = \int_{-\infty}^{t} f(x) \, dx qui est continue en t

• ! F_{X} continue \centernot{\implies} X probabilité à densité sur \mathbb{R}

[!example] Contre-exemple de la réciproque !probabilités variable aléatoire fonction de répartition 2025-02-03 10.40.37.excalidraw Cette fonction est continue et pourtant n'est la répartition d'aucune variable aléatoire réelle. En effet, elle est dérivable $\lambda$-presque partout (dérivable sauf en un nombre dénombrable de points), et sa dérivée est toujours nulle.