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alias: [ "fonction de répartition", "fonction de répartition d'une variable aléatoire" ]
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up:: [[variable aléatoire]]
title:: "$\begin{align} F:\,& \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\ &x \mapsto P(X \leq x) \end{align}$"
#s/maths/probabilités 


> [!definition] fonction de répartition
> Soit $(\Omega, \mathscr{P}(\Omega), P)$ un [[espace probabilisé]]
> Soit $X$ une [[variable aléatoire réelle]] sur $\Omega$
> La **fonction de répartition** de $X$ est :
> $\begin{align} F :\, & \mathbb{R} \to \mathbb{R}\ \\ & x \mapsto P(X ^{-1}(]-\infty, x[)) = \boxed{P(X \leq x)} \end{align}$
^definition

# Propriétés

 - $\forall (a, b) \in \mathbb{R}^{2}, \quad a \leq b, \quad P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$

> [!proposition]+ Toute fonction de répartition est continue
> Soit $X$ une [[variable aléatoire réelle]]  de [[probabilité à densité|densité]] $f$
> $F_{X}$ est continue en tout point $t \in \mathbb{R}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Pour tout $t \in \mathbb{R}$ 
> > $F_{X} = \mathbb{P}_{X}(]-\infty, t]) = \int_{-\infty}^{t} f(x) \, dx$ 
> > qui est continue en $t$
> >  - ! $F_{X}$ continue $\centernot{\implies}$ $X$ [[probabilité à densité|à densité]] sur $\mathbb{R}$
> > 
> > > [!example] Contre-exemple de la réciproque
> > > ![[probabilités variable aléatoire fonction de répartition 2025-02-03 10.40.37.excalidraw]]
> > > Cette fonction est continue et pourtant n'est la répartition d'aucune variable aléatoire réelle.
> > > En effet, elle est dérivable $\lambda$-presque partout (dérivable sauf en un nombre dénombrable de points), et sa dérivée est toujours nulle.