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alias: [ "nombre rationnel", "rationnel", "rationnels" ]
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sibling:: [[nombres irrationels]]
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up:: [[ensembles de nombres]]
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#s/maths
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> [!definition] nombres rationnels
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> On note $\mathbb{Q}$ l'ensemble des _nombres rationnels_.
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> C'est l'ensemble des nombres que l'on peut écrire comme une fraction de deux [[entiers relatifs]], c'est-à-dire :
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> $\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b}\mid a \in \mathbb{Z} \;\wedge \; b \in \mathbb{Z}^{*} \right\}$
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# Propriétés
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> [!proposition] $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$
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> $\forall x \in\mathbb{R},\quad \forall \varepsilon>0,\quad \exists q \in \mathbb{Q},\quad |x-q| < \varepsilon$
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> Pour tout nombre $x \in \mathbb{R}$, on peut trouver un rationnel aussi proche de $x$ que l'on souhaite.
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> Autrement dit : $\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$ :
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soit $x \in \mathbb{R}$, on va voir qu'il existe une suite $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}^{*}} \in \mathbb{Q}^{\mathbb{N}^{*}}$ qui [[suite convergente|converge]] vers $x$.
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> > Pour $n \in \mathbb{N}$ donné, écrivons $nx = a_{n}+r_{n}$ avec $a_{n} = E(nx)$ la partie entière, et $r_{n} = nx - E(nx)$ la partie décimale de $nx$
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> > On a : $a_{n} \in \mathbb{Z}$ et $r_{n} \in [0, 1[$
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> > Et : $nx = a_{n}+r_{n}$ donc $x = \frac{a_{n}}{n} + \frac{r_{n}}{n}$
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> > Alors, $|x_{n} - n| = \frac{r_{n}}{n} \leq \frac{1}{n}$ (puisque $r_{n} \in [0; 1[$)
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> > Donc $|x_{n} -x | \xrightarrow{n \to \infty} 0$
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> > C'est-à-dire que $x_{n} \xrightarrow{x \to \infty}x$
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> > Et donc, $x \in \overline{\mathbb{Q}}$ l'[[intérieur d'un espace métrique|intérieur]] de $\mathbb{Q}$
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> > D'où $\forall x \in \mathbb{R},\quad x \in \overline{Q}$, et donc :
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> > $\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$
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> [!proposition] $\mathbb{Q}$ est d'[[intérieur d'un espace métrique|intérieur]] vide dans $\mathbb{R}$
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> $\mathring{\mathbb{Q}} = \emptyset$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soit $x \in \mathbb{Q}$, on veut voir que $\forall r>0,\quad B(x, r) \not\subset \mathbb{Q}$
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> > prenons $x_{n} = x+ \frac{\sqrt{ 2 }}{n}$
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> > comme $x \in \mathbb{Q}$, on a $x_{n} \notin \mathbb{Q}$
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> > mais $x_{n} \xrightarrow{n \to \infty} x$
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> > $\vdots$
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