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nombre rationnel rationnel rationnels

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[!definition] nombres rationnels On note \mathbb{Q} l'ensemble des nombres rationnels. C'est l'ensemble des nombres que l'on peut écrire comme une fraction de deux entiers relatifs, c'est-à-dire : \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b}\mid a \in \mathbb{Z} \;\wedge \; b \in \mathbb{Z}^{*} \right\}

Propriétés

[!proposition] \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R} \forall x \in\mathbb{R},\quad \forall \varepsilon>0,\quad \exists q \in \mathbb{Q},\quad |x-q| < \varepsilon Pour tout nombre x \in \mathbb{R}, on peut trouver un rationnel aussi proche de x que l'on souhaite. Autrement dit : \overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R} :

[!démonstration]- Démonstration Soit x \in \mathbb{R}, on va voir qu'il existe une suite (x_{n})_{n \in \mathbb{N}^{*}} \in \mathbb{Q}^{\mathbb{N}^{*}} qui suite convergente vers x. Pour n \in \mathbb{N} donné, écrivons nx = a_{n}+r_{n} avec a_{n} = E(nx) la partie entière, et r_{n} = nx - E(nx) la partie décimale de nx On a : a_{n} \in \mathbb{Z} et r_{n} \in [0, 1[ Et : nx = a_{n}+r_{n} donc x = \frac{a_{n}}{n} + \frac{r_{n}}{n} Alors, |x_{n} - n| = \frac{r_{n}}{n} \leq \frac{1}{n} (puisque r_{n} \in [0; 1[) Donc |x_{n} -x | \xrightarrow{n \to \infty} 0 C'est-à-dire que x_{n} \xrightarrow{x \to \infty}x Et donc, x \in \overline{\mathbb{Q}} l'intérieur d'un espace métrique de \mathbb{Q} D'où \forall x \in \mathbb{R},\quad x \in \overline{Q}, et donc : \overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}

[!proposition] \mathbb{Q} est d'intérieur d'un espace métrique vide dans \mathbb{R} \mathring{\mathbb{Q}} = \emptyset

[!démonstration]- Démonstration Soit x \in \mathbb{Q}, on veut voir que \forall r>0,\quad B(x, r) \not\subset \mathbb{Q} prenons x_{n} = x+ \frac{\sqrt{ 2 }}{n} comme x \in \mathbb{Q}, on a x_{n} \notin \mathbb{Q} mais x_{n} \xrightarrow{n \to \infty} x \vdots