cours/matrice jacobienne.md

up:: intégration.changement de variables #s/maths/intégration

[!definition] Définition \operatorname{Jac}f(x)= \left( \frac{ \partial f }{ \partial x_1 }(x), \dots, \frac{ \partial f }{ \partial x_{n} }(x) \right)\begin{pmatrix}h_1\\\vdots\\h_{n}\end{pmatrix} \operatorname{Jac}f(x) = \begin{pmatrix}\frac{ \partial f_1 }{ \partial x_1 }(x) & \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_2 }(x) & \cdots & \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_{n} }(x) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{ \partial f_{n} }{ \partial x_1 }(x) & \frac{ \partial f_{n} }{ \partial x_2 }(x) & \cdots & \frac{ \partial f_{n} }{ \partial x_{n} }(x)\end{pmatrix} \operatorname{Jac}f(x) = \left( \frac{ \partial f_{i} }{ \partial x_{j} } \right)_{\substack{1 \leq i \leq n\\ 1 \leq j \leq n}} ^definition

[!definition] Définition Soit \varphi : \underset{ouvert}{\Delta} \subset \mathbb{R}^{d} \to \underset{ouvert}{D} \subset \mathbb{R}^{d} une application bijective \forall y \in \Delta ,\quad \varphi(y) = \varphi(y_1, \dots, y_{d}) = \begin{pmatrix}\varphi_1(y)\\ \vdots\\ \varphi _{d}(y)\end{pmatrix} On lui associe sa matrice jacobienne (que l'on suppose bien définie) : \operatorname{Jac}_{\varphi}(y) := \begin{pmatrix} \frac{ \partial \varphi_1 }{ \partial y_1 }(y) & \cdots & \frac{ \partial \varphi_1 }{ \partial y_{d} }(y)\\ \vdots & \ddots & \\ \frac{ \partial \varphi _{d} }{ \partial y_{1} }(y) & \cdots & \frac{ \partial \varphi _{d} }{ \partial y_{d} }(y) \end{pmatrix}

^definition

[!idea] Soit f une application de \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}. \mathrm{d}f(x) est une application linéaire de \mathscr{L}(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{n}) \underbrace{\mathrm{d}f(x)(h)}_{\in \mathscr{L}(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{n})}= \sum\limits_{i = 1}^{n} \left( h_{i}\cdot\underbrace{\frac{ \partial f }{ \partial x_{i} }(x)}_{\in \mathscr{L}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{n})} \right)

De là

Propriétés

[!proposition]+ Si f : \Omega \subset \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} est fonction différentiable en x \in \Omega alors, pour h \in \Omega \mathrm{d}f(x)(h) = \operatorname{Jac}f(x) \cdot h

Exemples