up:: [[intégration.changement de variables]]
#s/maths/intégration 

> [!definition] Définition
> $\operatorname{Jac}f(x)= \left( \frac{ \partial f }{ \partial x_1 }(x), \dots, \frac{ \partial f }{ \partial x_{n} }(x) \right)\begin{pmatrix}h_1\\\vdots\\h_{n}\end{pmatrix}$
> $\operatorname{Jac}f(x) = \begin{pmatrix}\frac{ \partial f_1 }{ \partial x_1 }(x) & \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_2 }(x) & \cdots & \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_{n} }(x) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{ \partial f_{n} }{ \partial x_1 }(x) & \frac{ \partial f_{n} }{ \partial x_2 }(x) & \cdots & \frac{ \partial f_{n} }{ \partial x_{n} }(x)\end{pmatrix}$
> $\operatorname{Jac}f(x) = \left( \frac{ \partial f_{i} }{ \partial x_{j} }  \right)_{\substack{1 \leq i \leq n\\ 1 \leq j \leq n}}$
^definition

> [!definition] Définition
> Soit 
> $\varphi : \underset{ouvert}{\Delta} \subset \mathbb{R}^{d} \to \underset{ouvert}{D} \subset \mathbb{R}^{d}$
> une application bijective
> $\forall y \in \Delta ,\quad \varphi(y) = \varphi(y_1, \dots, y_{d}) = \begin{pmatrix}\varphi_1(y)\\ \vdots\\ \varphi _{d}(y)\end{pmatrix}$
> On lui associe sa **matrice jacobienne** (que l'on suppose bien définie) :
> $\operatorname{Jac}_{\varphi}(y) := \begin{pmatrix} \frac{ \partial \varphi_1 }{ \partial y_1 }(y) & \cdots & \frac{ \partial \varphi_1 }{ \partial y_{d} }(y)\\ \vdots & \ddots & \\ \frac{ \partial \varphi _{d} }{ \partial y_{1} }(y) & \cdots & \frac{ \partial \varphi _{d} }{ \partial y_{d} }(y) \end{pmatrix}$
> 
^definition

> [!idea] 
> Soit $f$ une application de $\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$.
> $\mathrm{d}f(x)$ est une [[application linéaire]] de $\mathscr{L}(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{n})$
> $\underbrace{\mathrm{d}f(x)(h)}_{\in \mathscr{L}(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{n})}= \sum\limits_{i = 1}^{n} \left( h_{i}\cdot\underbrace{\frac{ \partial f }{ \partial x_{i} }(x)}_{\in \mathscr{L}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{n})} \right)$
> 
> De là 
> 

# Propriétés

> [!proposition]+ 
> Si $f : \Omega \subset \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$ est [[fonction différentiable|différentiable]] en $x \in \Omega$
> alors, pour $h \in \Omega$
> $\mathrm{d}f(x)(h) = \operatorname{Jac}f(x) \cdot h$
> 

# Exemples