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up:: [[intégrale de lebesgue]]
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#s/maths/intégration
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> [!lemme]- Linéarité de l'intégrale sur des fonctions étagées positives
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> Sur l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
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> Si $f$ et $g$ sont deux [[fonction étagée positive|fonctions étagées positives]], et avec $\lambda \in \mathbb{R}^{+}$, on a :
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> $\boxed{\displaystyle \int _{E} (\lambda f + g) \, d\mu = \lambda \int _{E} f \, d\mu + \int _{E} g \, d\mu}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On note $f = \sum\limits_{i=1}^{m} (\alpha _{i} \mathbb{1}_{A_{i}})$ et $g = \sum\limits_{i=1}^{l} (\beta _{i} \mathbb{1}_{B_{i}})$
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> > Il est clair que $\int _{E} \lambda f \, d\mu = \lambda \int _{E} f \, d\mu$ par distributivité
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> > Notons :
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> > - $(\gamma _{k})_{1 \leq k \leq p}$ les valeurs distinctes prises par $f+g$
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> > - $\displaystyle C_{k} = (f+g)^{-1}(\{ \gamma _{k} \}) = \bigcup _{(i, j) \in I_{k}} (A_{i} \cap B_{j})$
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> > où $I_{k} = \{ (i, j) \mid \alpha _{i} + \beta _{j} = \gamma _{k} \}$
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> >
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> > $f+g = \sum\limits_{k=1}^{p} (\gamma _{k} \cdot\mathbb{1}_{C_{k}})$
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> > donc :
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> > $$\begin{align}
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> > \int _{E} (f+g) \, d\mu &= \sum\limits_{k=1}^{p} (\gamma _{k} \cdot \mu(C_{k})) \\
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> > &= \sum\limits_{k=1}^{p} \left( \gamma _{k} \cdot \mu \underbrace{\left( \bigcup _{(i, j) \in I_{k}} (A_{i} \cap B_{j}) \right)}_{\text{réunion 2 à 2 disjointe}} \right) \\
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> > &= \sum\limits_{k=1}^{p} \left( \sum\limits_{(i, j) \in I_{k}} \underbrace{(\alpha _{i} + \beta _{j})}_{ =\gamma _{k}} \cdot \mu (A_{i} \cap B_{j}) \right) \\
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> > &= \sum\limits_{k=1}^{p} \left( \sum\limits_{(i, j) \in I_{k}} \alpha _{i} \cdot \mu(A_{i} \cap B_{j}) \right) + \sum\limits_{k=1}^{p} \left( \sum\limits_{(i, j) \in I_{k}} \beta _{j} \cdot \mu(A_{i} \cap B_{j}) \right) \\
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> > &= \sum\limits_{i=1}^{m} \left( \sum\limits_{j=1}^{l} (\alpha _{i} \cdot \mu(A_{i} \cap B_{i})) \right) + \sum\limits_{j=1}^{l} \left( \sum\limits_{i=1}^{n} \beta _{j} \cdot \mu(A_{i} \cap B_{j}) \right)\\
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> > &= \sum\limits_{i=1} ^{n} \left( a_{i} \cdot \mu\left( A_{i} \cap \left( \bigcup _{j = 1} ^{l} B_{j} \right) \right) \right) + \sum\limits_{j=1}^{l} \left( \beta _{j} \cdot \mu\left( \left( \bigcup _{i=1}^{m} A_{i} \right) \cap B_{j} \right) \right) & \text{or } \bigcup _{i=1}^{m} A_{i} = \bigcup _{j = 1}^{l} B_{i} = E \text{ donc :}\\
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> > &= \int _{E} f \, d\mu + \int _{E} g \, d\mu
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> > \end{align}$$
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> >
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^lemme
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> [!proposition]+ linéarité de l'intégrale
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> Sur l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
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> Si $f$ et $g$ sont deux [[fonction mesurable|fonctions mesurables]] positives, et avec $\lambda \in \mathbb{R}^{+}$, on a :
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> $\boxed{\displaystyle \int _{E} (\lambda f + g) \, d\mu = \lambda \int _{E} f \, d\mu + \int _{E} g \, d\mu}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soient $(f_{n})$ et $(g_{n})$ deux suites de [[fonction étagée positive|fonctions étagées positives]] telles que $f_{n} \xrightarrow{n \to \infty} f$ et $g_{n} \xrightarrow{x \to \infty} g$.
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> > Par le lemme précédent, on sait que :
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> > $\displaystyle\forall n\in \mathbb{N},\quad \int_{E} (\lambda f_{n}+g_{n}) \, d\mu = \lambda \int_{E} f_{n} \, d\mu + \int_{E} g_{n} \, d\mu$
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> > Ensuite, par le [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]], on sait que l'on peut passer à la limite, et comme $f_{n} \to f$ et $g_{n} \to g$, on a :
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> > $\boxed{\displaystyle\int_{E} (\lambda f + g) \, d\mu = \lambda \int_{E} f \, d\mu + \int_{E} g \, d\mu}$
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^theoreme
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