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[!lemme]- Linéarité de l'intégrale sur des fonctions étagées positives Sur l'espace mesuré (E, \mathcal{A}, \mu) Si f et g sont deux fonction étagée positive, et avec \lambda \in \mathbb{R}^{+}, on a : \boxed{\displaystyle \int _{E} (\lambda f + g) \, d\mu = \lambda \int _{E} f \, d\mu + \int _{E} g \, d\mu}

[!démonstration]- Démonstration On note f = \sum\limits_{i=1}^{m} (\alpha _{i} \mathbb{1}_{A_{i}}) et g = \sum\limits_{i=1}^{l} (\beta _{i} \mathbb{1}_{B_{i}}) Il est clair que \int _{E} \lambda f \, d\mu = \lambda \int _{E} f \, d\mu par distributivité Notons :

• (\gamma _{k})_{1 \leq k \leq p} les valeurs distinctes prises par f+g
• \displaystyle C_{k} = (f+g)^{-1}(\{ \gamma _{k} \}) = \bigcup _{(i, j) \in I_{k}} (A_{i} \cap B_{j}) où I_{k} = \{ (i, j) \mid \alpha _{i} + \beta _{j} = \gamma _{k} \}

f+g = \sum\limits_{k=1}^{p} (\gamma _{k} \cdot\mathbb{1}_{C_{k}}) donc : $$\begin{align} \int {E} (f+g) , d\mu &= \sum\limits{k=1}^{p} (\gamma {k} \cdot \mu(C{k})) \ &= \sum\limits_{k=1}^{p} \left( \gamma {k} \cdot \mu \underbrace{\left( \bigcup {(i, j) \in I{k}} (A{i} \cap B_{j}) \right)}{\text{réunion 2 à 2 disjointe}} \right) \ &= \sum\limits{k=1}^{p} \left( \sum\limits_{(i, j) \in I_{k}} \underbrace{(\alpha {i} + \beta {j})}{ =\gamma {k}} \cdot \mu (A{i} \cap B{j}) \right) \ &= \sum\limits_{k=1}^{p} \left( \sum\limits_{(i, j) \in I_{k}} \alpha {i} \cdot \mu(A{i} \cap B_{j}) \right) + \sum\limits_{k=1}^{p} \left( \sum\limits_{(i, j) \in I_{k}} \beta {j} \cdot \mu(A{i} \cap B_{j}) \right) \ &= \sum\limits_{i=1}^{m} \left( \sum\limits_{j=1}^{l} (\alpha {i} \cdot \mu(A{i} \cap B_{i})) \right) + \sum\limits_{j=1}^{l} \left( \sum\limits_{i=1}^{n} \beta {j} \cdot \mu(A{i} \cap B_{j}) \right)\ &= \sum\limits_{i=1} ^{n} \left( a_{i} \cdot \mu\left( A_{i} \cap \left( \bigcup {j = 1} ^{l} B{j} \right) \right) \right) + \sum\limits_{j=1}^{l} \left( \beta {j} \cdot \mu\left( \left( \bigcup {i=1}^{m} A{i} \right) \cap B{j} \right) \right) & \text{or } \bigcup {i=1}^{m} A{i} = \bigcup {j = 1}^{l} B{i} = E \text{ donc :}\ &= \int _{E} f , d\mu + \int _{E} g , d\mu \end{align}$$

^lemme

[!proposition]+ linéarité de l'intégrale Sur l'espace mesuré (E, \mathcal{A}, \mu) Si f et g sont deux fonction mesurable positives, et avec \lambda \in \mathbb{R}^{+}, on a : \boxed{\displaystyle \int _{E} (\lambda f + g) \, d\mu = \lambda \int _{E} f \, d\mu + \int _{E} g \, d\mu}

[!démonstration]- Démonstration Soient (f_{n}) et (g_{n}) deux suites de fonction étagée positive telles que f_{n} \xrightarrow{n \to \infty} f et g_{n} \xrightarrow{x \to \infty} g. Par le lemme précédent, on sait que : \displaystyle\forall n\in \mathbb{N},\quad \int_{E} (\lambda f_{n}+g_{n}) \, d\mu = \lambda \int_{E} f_{n} \, d\mu + \int_{E} g_{n} \, d\mu Ensuite, par le théorème de convergence monotone des intégrales, on sait que l'on peut passer à la limite, et comme f_{n} \to f et g_{n} \to g, on a : \boxed{\displaystyle\int_{E} (\lambda f + g) \, d\mu = \lambda \int_{E} f \, d\mu + \int_{E} g \, d\mu} ^theoreme