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up:: [[intégration]], [[intégrale de lebesgue]]
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sibling:: [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]]
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#s/maths/intégration
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> [!proposition]+ [[lemme de Fatou]]
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> Soit $(E, \mathcal{A}, \mu)$ un [[espace mesuré]]
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> Soit $(f_{n})_{n\geq 0}$ une suite de fonctions [[fonction mesurable|mesurables]] positives
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> $\boxed{\int_{E} \liminf\limits_{ n \to \infty } f_{n} \, d\mu \leq \liminf\limits_{ n \to \infty } \int_{E} f_{n} \, d\mu}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soit $(g_{n})$ la suite définie par $g_{n} = \inf\limits_{k\geq n} f_{k}$
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> > On sait alors que $(g_{n})$ est une suite croissante de fonctions mesurables positives.
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> > En appliquant le [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]], on obtient :
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> > $\displaystyle \int_{E} \lim\limits_{ n \to \infty } g_{n} \, d\mu = \lim\limits_{ n \to \infty } \int_{E} g_{n} \, d\mu$
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> > Or, on sait par définition que $\lim\limits_{ n \to \infty } g_{n} = \liminf\limits_{ n \to \infty } f_{n}$, donc :
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> > $\displaystyle \int_{E} \liminf\limits_{ n \to \infty } f_{n} \, d\mu = \int_{E} \lim\limits_{ n \to \infty } g_{n} \, d\mu$
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> > Et on sait aussi que $\forall n \in \mathbb{N},\quad g_{n} \leq f_{n}$ car $g_{n} = \inf\limits \{ f_{n}, f_{n+1}, f_{n+2}, \dots \}$
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> > On a donc :
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> > $\displaystyle \int_{E} \liminf\limits_{ n \to \infty } f_{n} \, d\mu = \int_{E} \lim\limits_{ n \to \infty } g_{n} \, d\mu = \lim\limits_{ n \to \infty } \int_{E} g_{n} \, d\mu \leq \liminf\limits_{ n \to \infty } \int_{E} f_{n} \, d\mu$
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> > Et on trouve bien le résultat du lemme de Fatou :
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> > $\displaystyle \int_{E} \liminf\limits_{ n \to \infty } f_{n} \, d\mu \leq \liminf\limits_{ n \to \infty } \int_{E} f_{n} \, d\mu$
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^theoreme
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# Exemples
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> [!example]
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> Soit $(f_{n})$ la suite de fonctions mesurables positives suivante :
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> $\begin{align} f_{n} : \mathbb{R} & \to \mathbb{R}^{+} \\ x &\mapsto \frac{n}{nx + x^{2}} \mathbb{1}_{[1; +\infty[} (x) \end{align}$
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> $f_{n}$ est mesurable positive car continue par morceaux.
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> $f_{n}(x) \xrightarrow{ n \to \infty } \frac{1}{x} \mathbb{1}_{[1; +\infty[}(x)$
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> Le lemme de Fatou assure que :
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> $\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{x} \mathbb{1}_{[1, +\infty[}(x) \, \lambda(dx)$
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