up:: [[intégration]], [[intégrale de lebesgue]]
sibling:: [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]]
#s/maths/intégration 

> [!proposition]+ [[lemme de Fatou]]
> Soit $(E, \mathcal{A}, \mu)$ un [[espace mesuré]]
> Soit $(f_{n})_{n\geq 0}$ une suite de fonctions [[fonction mesurable|mesurables]] positives
> $\boxed{\int_{E} \liminf\limits_{ n \to \infty } f_{n} \, d\mu \leq \liminf\limits_{ n \to \infty } \int_{E} f_{n} \, d\mu}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $(g_{n})$ la suite définie par $g_{n} = \inf\limits_{k\geq n} f_{k}$
> > On sait alors que $(g_{n})$ est une suite croissante de fonctions mesurables positives. 
> > En appliquant le [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]], on obtient :
> > $\displaystyle \int_{E} \lim\limits_{ n \to \infty } g_{n} \, d\mu = \lim\limits_{ n \to \infty } \int_{E} g_{n} \, d\mu$
> > Or, on sait par définition que $\lim\limits_{ n \to \infty } g_{n} = \liminf\limits_{ n \to \infty } f_{n}$, donc :
> > $\displaystyle \int_{E} \liminf\limits_{ n \to \infty } f_{n} \, d\mu = \int_{E} \lim\limits_{ n \to \infty } g_{n} \, d\mu$
> > Et on sait aussi que $\forall n \in \mathbb{N},\quad g_{n} \leq f_{n}$  car $g_{n} = \inf\limits \{ f_{n}, f_{n+1}, f_{n+2}, \dots \}$
> > On a donc :
> > $\displaystyle \int_{E} \liminf\limits_{ n \to \infty } f_{n} \, d\mu = \int_{E} \lim\limits_{ n \to \infty } g_{n} \, d\mu = \lim\limits_{ n \to \infty } \int_{E} g_{n} \, d\mu \leq \liminf\limits_{ n \to \infty } \int_{E} f_{n} \, d\mu$
> > Et on trouve bien le résultat du lemme de Fatou :
> > $\displaystyle \int_{E} \liminf\limits_{ n \to \infty } f_{n} \, d\mu \leq \liminf\limits_{ n \to \infty } \int_{E} f_{n} \, d\mu$
^theoreme

# Exemples


> [!example] 
> Soit $(f_{n})$ la suite de fonctions mesurables positives suivante :
> $\begin{align} f_{n} : \mathbb{R} & \to \mathbb{R}^{+} \\ x &\mapsto \frac{n}{nx + x^{2}} \mathbb{1}_{[1; +\infty[} (x) \end{align}$ 
> $f_{n}$ est mesurable positive car continue par morceaux.
> $f_{n}(x) \xrightarrow{ n \to \infty } \frac{1}{x} \mathbb{1}_{[1; +\infty[}(x)$
> Le lemme de Fatou assure que :
> $\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{x} \mathbb{1}_{[1, +\infty[}(x) \, \lambda(dx)$