cours/isomorphisme d'anneaux.md

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	isomorphisme morphisme d'anneaux	s/maths/algèbre

[!definition] Définition

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Propriétés

[!proposition]+ Premier théorème d'isomorphisme Soient A, B deux anneau Soit f : A \to B un morphisme d'anneaux Alors : \begin{align} \tilde{f} : A / \ker f &\to \operatorname{Im}f \\ \overline{x} &\mapsto f(x) \end{align} est un isomorphisme d'anneaux

[!démonstration]- Démonstration On sait que \tilde{f} est un morphisme de groupes additifs

• \tilde{f} est bien défini (cela est manifeste)
• \tilde{f} est un morphisme d'anneaux \tilde{f}(1_{A}) = 1_{B} \tilde{f}(x+y) = \tilde{f}(x)+\tilde{f}(y) \tilde{f(\overline{xy})} = \tilde{f}(\overline{x})\tilde{f}(\overline{y}) quels que soient \overline{x}, \overline{y} \in A /I
• \tilde{f} est bijective

Exemples