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aliases: 
up:
  - "[[isomorphisme]]"
  - "[[morphisme d'anneaux]]"
tags:
  - s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
> 
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Premier théorème d'isomorphisme
> Soient $A, B$ deux [[anneau|anneaux]]
> Soit $f : A \to B$ un [[morphisme d'anneaux]]
> Alors :
> $\begin{align} \tilde{f} : A / \ker f &\to \operatorname{Im}f \\ \overline{x} &\mapsto f(x) \end{align}$
> est un isomorphisme d'anneaux
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On sait que $\tilde{f}$ est un [[morphisme de groupes]] additifs
> >  - $\tilde{f}$ est bien défini (cela est manifeste)
> >  - $\tilde{f}$ est un [[morphisme d'anneaux]]
> > $\tilde{f}(1_{A}) = 1_{B}$
> > $\tilde{f}(x+y) = \tilde{f}(x)+\tilde{f}(y)$
> > $\tilde{f(\overline{xy})} = \tilde{f}(\overline{x})\tilde{f}(\overline{y})$ quels que soient $\overline{x}, \overline{y} \in A /I$
> >  - $\tilde{f}$ est bijective

# Exemples