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[!proposition]+ \displaystyle \int_{\mathbb{R}} e^{ itx } \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+x^{2}} \, dx = e^{ -|t| }

[!démonstration]- Démonstration Soient (u, x) \in \mathbb{R}^{2} on pose, avec a > 0 : f_{t}(u, x) = e^{ i(u+x)t } e^{ -|u| } e^{ -a|x| } Peut-on intégrer f_{t} par rapport à \lambda _{2} ? $$\begin{align} \int_{\mathbb{R}^{2}} |f_{t}| , d\lambda {2} &= \int{\mathbb{R}^{2}} e^{ -|u| } , dudx \ &= \int_{\mathbb{R}} \left( \int_{\mathbb{R}} e^{ -|u| }e^{ -a|x| } , du \right) , dx \ &= \int_{\mathbb{R}} e^{ -a|x| } \cdot \left( \int_{\mathbb{R}} e^{ -|u| } , du \right) , dx \ &= \left( \int_{\mathbb{R}} e^{ -a|x| } , dx \right) \left( \int_{\mathbb{R}} e^{ -|u| } , du \right) \ &= \left( 2 \int_{\mathbb{R}^{+}} e^{ -ax } , dx \right) \left( 2 \int_{\mathbb{R}^{+}} e^{ -u } , du \right) \ &= \frac{2}{a} \times 2 = \frac{4}{a} \ &< +\infty \end{align}$$ Donc f_{t} est $\lambda_2$-intégrable.

On calcule maintenant effectivement cette intégrale. En utilisant le théorème de Fubini on obtient : $$\begin{align} \int_{\mathbb{R}^{2}} f_{t}(u, x) , dxdu &= \int_{\mathbb{R}} e^{ ixt }e^{ -a|x| } \left( \int_{\mathbb{R}} e^{ iux }e^{ -|u| } , du \right) , dx = \int\mathbb{R} e^{ itx }e^{ -a|x| } \frac{1}{1+x} , dx \ &= \int_{\mathbb{R}} e^{ -|u| } \left( \int_{\mathbb{R}} e^{ i(u+t)x } e^{ -a|x| } , dx \right) , du = \int_{\mathbb{R}} e^{ -|u| } \frac{a}{a^{2} + (t+u)^{2}} , du \end{align}$$ Donc : $$\begin{align} I(a) &= \int_{\mathbb{R}} e^{ itx } e^{ -a|x| } , dx \ &= \int_{\mathbb{R}} e^{ -|u| } \frac{a}{a^{2}+(t+u)^{2}} , du \ &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ -|ax - t| } \frac{a}{a^{2}+(as)^{2}} a , ds & \text{par changement de variable } s = \frac{t+u}{a} \ &= \int_{\mathbb{R}} e^{ -|as-t| } \frac{1}{1+s^{2}} , ds = J(a) \end{align}$$

Cependant, le changement de variable ne fonctionne que si a \neq 0. Vérifions donc que I = J aussi en 0. On utilise le théorème de convergence dominée : Soit (a_{n}) \in (\mathbb{R}_{+}^{*})^{\mathbb{N}} une suite telle que a_{n} \xrightarrow{n \to +\infty} 0

• \underbrace{e^{ itx } e^{ -a_{n}|x| } \frac{1}{1+x^{2}}}_{f_{n}(x)} \xrightarrow{n \to +\infty} \underbrace{e^{ itx } \frac{1}{1+x^{2}}}_{f(x)} Donc f_{n} \xrightarrow{n \to +\infty} f
• \left| e^{ itx }e^{ -a|x| } \frac{1}{1+x^{2}} \right| \leq e^{ -a|x| } \frac{1}{1+x^{2}} \leq \frac{1}{1+x^{2}} qui est intégrable sur \mathbb{R} Donc f_{n} est dominée par une fonction intégrable

Ainsi, d'après le théorème de convergence dominée, on sait que \lim\limits_{ n \to \infty } \int_{\mathbb{R}} f_{n}(x) \, dx = \int_{\mathbb{R}} \lim\limits_{ n \to \infty } f_{n}(x) \, dx = \int_{\mathbb{R}} f(x) \, dx